W . Krull, Beiträge zur Arithmetik kommutativer Integritätsbereiche. V. 769

bereitungssatz anwenden, und so den Z.P.E. für den Eing aller formalen Potenzreihen in x^, . . ., «„ über P beweisen*).

Mit Hilfe dieses Teilresultats, der Bemerkung, dai3 jeder Hauptidealring Durchschnitt von diskreten Bewertungsringen ist, und einer auf J. Schur^) zurückgehenden Potenzreihennormierung zeigt man weiter: Für die ,,null- gradigen" (d. h. mit einem von 0 verschiedenen, von den Variablen freien Glied beginnenden) Potenzreihen gilt der Z.P.E. auch dann, wenn der Koeffizientenbereich ein ,,restunendlicher" Hauptidealring ist, bei dem der Restklassenkörper nach einem beliebigen Primhauptideal stets unendlich viele Elemente enthält.

Die soeben zusammengestellten Sätze entsprechen dem Standpunkt, den ich bereits in einer früheren Arbeit erreicht habe *''). In der vorliegenden Arbeit betrachten wir durchweg nebeneinander den Ring Ш aller formalen reihen in »1, . . ., Xn über einem gegebenen Integritätsbereich P und den sprechenden Potenzreihenring S über dem zu P gehörigen körper K. Zunächst werden für den Fall, daß P ein restunendlicher diskreter Bewertungsring ist, die folgenden ueuen Ergebnisse gewonnen: Der Z.P.E. gilt für 9Î auoJi dann, wenn P nicht -perfekt ist. Ein Primelement aus 1Я, das nicht den Grad 0 hat und infolgedessen in в nicht zur Einheit wird, Jcann unter Umständen in & in mehrere Primfaktoren zerfallen.

Die Verhältnisse liegen also trotz des Z.P.E. nicht ganz so einfach wie bei den Polynomen, wo ja bekaimtlich jedes ganzzahlig irreduzible Polynom stets auch rationalzahlig irreduzibel ist. Hier gilt nur der Satz, daß ein element aus Q niemals Faktor zweier wesentlich (also nicht nur um einen Einheitsfaktor) verschiedener Primelemente aus (3 sein kann. — Aber auch dieses schwächere Ergebnis ist von weittragender Bedeutung. Vor allem gewinnt man mit seiner Hilfe leicht den folgenden Hauptsatz:

Ist P ein restunendlicher Hawptidealring, so läßt sich in 5H jedes Element eindeutig als Produkt endlich vieler Primelemente und eines ,,primitiven" Elementes darstellen.

* ) Vgl. W. Krull: Zur Arithmetik der Potenzreihen mit ganzzahligen Koeffizienten, J. f. Math. 164 (1931), S. 12—22 ; § 2. Dort werden allerdings nur Reihen einer Variablen betrachtet, aber die Übertragung der Überlegungen auf den Fall beliebig vieler Variabler macht keine Schwierigkeit (vgl. auch Nr. 2 unseres Beitrages).

6 ) Zur Arithmetik der Potenzreihen mit ganzzahligen Koeffizienten, Math. Zeitschr. 12 (1922), S. 95—113.

6 ) Nämlich in Krull *). Der Hauptzweck dieser Arbeit, in der nur Reihen einer Variablen betrachtet wurden, war allerdings ein anderer: Es handelte sich darum, zu zeigen, daß die Entwicklung der Teilbarkeitstheorie der Potenzreihen über einem Z. P. J.-Ring (Ring vom Typus der Hauptordnung eines endlichen algebraischen Zahlkörpers) nicht wesentlich schwieriger ist als über einem Hauptidealring (vgl. dazu Nr. 6 unseres Beitrages).