Trägheitsgesetz quadratischer Formen mit halbfiniter Koeffizientenmatrix. 27

Gleichungssysteme vor ^), und auf diese gestützt ist es möglich, das gesetz völlig zu bewältigen. Das Ergebnis ist folgendes: Jede bezüglich der Nebendiagonalen symmetrische, reelle, halbfinite Matrix ist kongruent zu einer vom Tj^us

wo 3) eine Diagonalmatrix ist, deren Diagonalelemente nur die Werte + 1, — 1, 0 haben, wo Ш^ eine Einsermatrix ist, d. h. eine Matrix, die in jeder Reihe höchstens eine + 1 enthält, sonst nur Nullen und wo ^^ aus Ш^ durch Spiegelung an der Nebendiagonalen der Gesamtmatrix hervorgeht {Kap. II). Mit einem großen deutschen О soll dabei hier wie auch im folgenden eine matrix bezeichnet werden, d. h. eine solche, deren Elemente alle Null sind. Diese Normalform wird in Kap. III noch weiter reduziert auf einen von acht Typen (vgl. S.46—48), und dann wird gezeigt, daß keine zwei Matrizen aus diesen acht Typen kongruent sind. Dieser letztere Nachweis hat am meisten neue Gedankengänge erfordert. Das vorbereitende Kap. I beruht auf einem bekannten Hilfssatz von Frobenius"), den auf unendliche symmetrische Matrizen zu übertragen ebenfalls eine gewisse Schwierigkeit dargestellt hat.

Kapitel I.

VeraUgemeinerung der Transformation von Lagrange.

A . Unter besonderen Voraussetzungen.

Das Ziel dieses Abschnittes ist der folgende

Satz 1 ^^): Ist Ж eine unendliche symmetrische Matrix

4 , 1 "1,2

Ж

«2 , 1

und gibt es in der Folge ihrer Abschnitisdeterminanten Ä^, A^, .. ., wo

^1 , 1 ^1,2 • ^1, « ^2,1 ®2,2 • ^^2, n

^n , l ®и,2 • ^n, n

^ ) Siehe die in Fußnote '">) erwähnte Arbeit, Journ. f. Math. 165. 1") Journ. f. Math. 114 (1895), S. 193.

^1 ) Zxa Vermeidung unnötiger Wiederholungen sei an dieser SteHe die Festsetzung getroffen, daß alle in dieser Arbeit vorkommenden Größen reell sein sollen.