über eine erzeugende Fnnktion von Produkten Hermitescher Polynome.

Von Artur Erdélyi in Brüim.

In der Theorie der durch die erzeugende Funktion^)

oo

( 1 ) 2'^>.w=e*'-*"

W= 0

erklärten Hermiteschen Polynome spielt die Mehlersche PonneP)

( 2 ) 2^^^»(^)^Л^)= j^exp{2-(j4^

eine wichtige ЕоПе, z. B. bei der Untersuchung der Abebchen Summierbarkeit der Entwicklung einer willkürlichen Funktion nach Hermiteschen Polynomen. Wie Hille bemerkt hat, wurde diese grundlegende Formel wiederholt von schiedenen Autoren entdeckt und bewiesen. Zuletzt noch hat Watson^) für sie drei verschiedene Beweise mitgeteilt.

Alle mir bekannten Beweise stützen sich auf verschiedene weiterhin wonnenen Sätze aus der Theorie der Hermiteschen Polynome, während es doch bei dem fundamentalen und verhältnismäßig einfachen Charakter von (2) wünscht erscheint, (2) unmittelbar aus der Definitionsgleichung der schen Polynome ohne weitere Umwege zu gewinnen. Ich habe zwei Beweise konstruiert, die diesem Wunsche Eechnung tragen und dabei gefunden, daß der eine von ihnen eine sehr leicht zu überblickende VeraUgemeinerung auf w mensionen zuläßt. Dieser Beweis soll im folgenden mitgeteüt werden, da er neben der Eigenart seiner Methode, die an sich einiges Interesse beanspruchen darf und sich auf andere Orthogonalsysteme übertragen läßt, die Mehlersche Formel für n Dimensionen liefert. Bisher wurde von dieser allgemeinen Formel nur der Sonderfall n = 2, in dem sich aber das allgemeine Bildungs-

^ ) Vgl, z. B. P. Appell imd J. Kampe de Fériet, Fonctions àypergéometriqnes et hypersphériques. Ро1упоше8 de Hermite. Paris 1926 (im folgenden als A.-K. zittert). Insbesondere S. 331, Gleichung (1).

^ ) Wabrseheinlich von МеЫег, Über die Entwicklung einer Function von beliebig vielen Variablen nach Laplaceschen Functionen böherer Ordnung. J. f. Math. 66 (1866), S. 161—176 zuerst angegeben.

^ ) G. Ж. Watson,^ Notes on generating function» of polynomiab; (2) Hermit© polynomials. Journal JLondon Math. Soc. 8 (1»33), S. 194—199,