Transformationen uneigentlicher Integrale und Poincaréscbe Randwertaufgabe. 429

wo à-ein mnerer Punkt des Intervalls (0, l) ist, R (s) und fij (s) die Eesiduen der Funktionen N (s, a) und Nj_ (s, a) der Veränderlichen о in dem Polo = s bezeichnen, das heißt

R {s) = lim {a~s)N {s, a),

a ~> s

R^ (s) = lim (a — s) N-^ (s, a);

a -^ s

F (s, r) ist gleich der folgenden Summe von Integralen längs der Bogen ABB und AP'В der komplexen Zahlenebene, die die Strecke А В der reellen Achse (das Integrationsintervall 0, Î) einschließen:

( 6 ) F{s,r) = ^ ^ N{s,a)N^{a,r)da + ^ f N {s,(r) М^{а,г)аа.

ЛРВ AP'B

Nach dem Ausdruck (6) ist die Funktion F (s, r) holomorph in bezug auf die Veränderlichen s und r in dem von den Bogen ABB und AP'B begrenzten Bereiche. In der Formel (4) nehmen die VeränderHchen s, a, r reelle Werte des Intervalls (0, l) an, und in diesem Falle ist die Funktion (6) gleich den Cauchyschen Hauptwerten des Integrals

i (6') F{s,r) = \N{8,G)N^{a,r)d<y.

0

Die Funktion F (s, r) bleibt nach (6) beschränkt, wenn selbst die Differenz s ~ t gegen Null strebt, was eine wesentliche Tatsache bHdet. Nach einer Bemerkung von H. Poincaré bleibt die Funktion F (s, т) auch dann schränkt, wenn s und T gegen denselben Endpunkt des Integrationsintervalls AB streben. In der Tat, da die Funktion N (s, a) periodisch ist, bleibt der Wert des Integrals (6) unverändert, wenn sich die Integrationstreoke A В mit Behaltung der Länge längs der reellen Achse verschiebt. Diese ligenschaft wird auch augenscheinlich, wenn man die Summe der Integrale

( 7 ) Fis,r) = l I N{s,a)N^{a,r)da + i | N is,a) N^((7,t)da

betrachtet , wo die Integrationswege A^P^B^ und A^P'^^B-^^ die Strecke A^B^ — 21 der reellen Achse einschließen, die das Integrationsinterval А В in ihrem Innern enthält; die Funktion (7) ist nämlich holomorph in dem Bereiche, der die Strecke AB im Innern enthält, und für zwei beliebige Punkte s und т der Strecke А В nimmt sie dieselben Werte als das Integral (6') an.

Wir wollen noch bemerken, daß wir in der Formel (4) eine Zeichenänderung eingeführt haben, weil diese Formel in dem oben zitierten Werke von H. Poin-

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