über das isoperimetrische Problem im Raum von n Dimensionen. § 4, V. 71S

V . Die Sätze II, III, IV und ihre Beweise bleiben unverändert bestehen, wenn es sich um «-Funktionen von % Variablen handelt, weiche in einem w-dimensionalen rechtwinkligen Parallelotop definiert sind.

Aus der Verallgemeinerung von II ziehen wir noch die triviale Folgerung:

V (A). Es sei im ^-dimensionalen Raum eine (h — l)-dimensionale Fläche gegeben durch die Gleichungen

^2 ~ ^1 ih' h> ■ • -5 h-i) Я ~ 1,2, .. ., k^

wobei der Punkt (t^, . . ., h_^ im Parameterraum etwa ein rechtwinkliges Parallelotop durchläuft und die Funktionen einmal stetig differenzierbar sind.

Dann ist der k-dimensionah Inhalt der Fläche gleich Null.

Man kann nämlich einen k-ten Scheinparameter tji, 0 ^tj^ Sl, fügen, von welchem die ж^ gar nicht abhängen. Dann ist die Punktional- determinante

und der Satz II für к Variable ergibt die zu beweisende Aussage. Dieser Satz läßt sich noch folgendermaßen erweitern.

V (B). Es sei im %-dimensionalen Eaum eine A-dimensionale faltigkeit gegeben durch die Gleichungen

x . = и {h, h, ■ ■ -, h) v = l,2,...,n,

wobei der Punkt (tj^, t^,. .., tj,) im Parameterraum etwa ein rechtwinkliges ParaHelotop durchläuft, und die Funktionen einmal stetig differenzierbar sind. Es sei ferner к <l ^n. Dann ist im n-dimensionalen Raum der l-dimensiomde Flächeninhalt der Mannigfaltigkeit gleich Null.

Man kann nämlich l — к Scheinparameter t^, (л = к + 1, .. .,1 fügen, welche die Intervalle 0 ^t^<l durchlaufen, und von welchen die Funktionen /^ gar nicht abhängen. Der Z-dimensionale Flächeninhalt der Mannigfaltigkeit wird dann gegeben durch das Integral

j А dt^, dt^, ..., dti,

wobei die Parameter t^,t^,...,ti das durch die obigen Festsetzungen stimmte l-dimensionale rechtwinklige Parallelotop durchlaufen, und Л den nicht negativen Wert der Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate aller IJnterdeterminanten ^ter Ordnung in der Funktionalmatrix

£ / , \ v = l, 2,...,%

bedeutet . Da nun аЦе diese Determinanten identisch verschwinden, so schwindet auch Л identisch, was die zu beweisende Aussage nach sich zieht.