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ЗДгавкеп fiir die Eigenwerte der Sturmschen Randwertaufgabe zweiter Ordnniig.

Von W, Qnade in Karlsruhe.

Die Mehrzahl der klassischen und auch der neueren Methoden zur genäherten Bejechnung der Eigenwerte*)*) operiert bei der STUBMSchen Randwertaufgabe entweder mit der in der Randwertaufgabe enthaltenen linearen Differentialgleichung (DGL) zweiter Ordnung oder mit einem geeigneten Variationsprobiem oder der entsprechenden Integralgleichung. Von der Möglichkeit, die DGl. zweiter Ordnung auf eine solche erster Ordnung zurückzuführen, um aus der letzteren Aussagen über die Eigenwerte zu gewinnen, ist weniger Gebrauch gemacht worden®). Bei dieser Zurückführung hat man es entweder mit einer RiccATischen DGl. oder der von F. Prüfer ^) angegebenen zu tun. Wie in dieser Arbeit gezeigt werden soll, bietet sich in der näherungsweisen gration der PEüFERSchen DGL, gelegentlich auch der EiccATischen DGL, ein zur Untersuchung der STURMSchen Bandwertaufgabe leicht barer, zu neuen Verfahren der Eigenwertbestimmung führender Weg dar, besonders, wenn man zur Behandlung der PEüFEESchen DGl. die Methode der Ober- und Unterfunktionen*) heranzieht und sich dabei um Abschätzungen bemüht, die schärfer sind als die zur Führung eines Existenzbeweises erforderlichen. Vor allem lassen sich aus diesem Gedanken heraus allgemeine Verfahren entwickeln, die gestatten, gleich-

1 ) Eine Zusammenstellung''der neueren Methoden bei L. Collatz, Zeitschr. f. angew. Math. u. Mech. 18 (1989), S. 224 u. 297, -wo auch ein ausfuhrliches tumsverzeichnis gegeben wird ; vgl. ал€Ы E. Kamke, Difierentialgieichungen I, Leipzig 1942, Abschnitt B, S. 182, insbes. S. 258 und die dort angegebene Literatur.

* ) Es sei noch auf die wahrend der Drucklegung dieser Arbeit erschienene zusammenfassende Darstellung von L. Collatz, Eigenwertprobleme und ihre rische Behandlung, "Leipzig 1945 hingewiesen. Die dort in Fußnote ^) auf S. 137 zitierte Arbeit ist die vorliegende. -*

2 ) Vgl. ^.B. E. Kamke, Math. Zeitschr. 44 (19Ш), S.635, wo unter Benutzung àtx PBüFEEschen Differentialgleichung Osziuationssltze für die lineare seibstadjun- gierte Randwertaufgabe zweiter Ordnung bewiesen werden.

ä ) H. PstlPEB, Math. Annalen Ш (1926),' S. 499, wiedergegeben bei E. Kamke, Differentialgleichungen reeller Funktionen, Leipzig 1930, S. 277.

* ) Vgi 0. Pebkok, Math. Annalen П (1915), S. 471 ; M. Mülles, Jahresber. DMV. g7 (Шт), s. 41 sowie w, Qiiai^e, Math. Zeitschr. 48 (1942), S. Г^4 (im Text mit Щ] b^eichaet).