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G . Köthe:

alle i = 1, 2,... ; speziell ist xf = 0, wenn bp = 0 ist. Ist nun « > 0 gegeben, so kann man nach (10) k^ so bestimmen, daß für alle k>\

( 11 ) Hf>1 ^ Môf < Môf»>-1^ < гор

gilt . Da j^**^ koordinatenweise gegen Null konvergiert, wird für nügend großes n (11) auch für k^k^ gültig. (11) bedeutet, daß das

für alle Uf^ Ф 0 gebildete sup ^J- mit гг -► со gegen Null konvergiert,

das ist aber gerade die starke Konvergenz von j^»») gegen о in Х.ш^у, In den Fällen, in denen die Bedingung (10) erfüllt ist, gilt also

in Analogie zu Satz 3, daß jede stark konvergente Folge aus Я bereits

in einem Я^й) stark konvergent ist.

Daß dies nicht allgemein der Fall ist, zeigt das folgende Beispiel : Es sei h'"^ = {l,n, n\ ...}. Wir bilden die Stellen

b " > == {b''\ b''\ ...},

b<^> = {Ь''\2Ь''\2'Ь''\...},

уп , ^ ^^m^ ^^<«-»)^ _ ^^ n'^-'Ь''\ #"b''\ ...}.

Der Stufenraum Я = Хщу^иг\ erfüllt nicht die Bedingung (10), wie leicht zu sehen ist, hat aber keinen Stückraum vom Typus ffoo: Ist l = fej £.5 • • •} ebe beliebige Stelle aus Я, so bilden die j^ für festes i offenbar einen Raum g, der (10) erfüllt, aber bestimmt keinen raum vom Typus ffcDo besitzt. Wählt man für jedes i andererseits lich viele Indizes aus und bildet man die Quotienten der Koordinaten mit diesen Indizes aus b'*^ und Ъ"*^'\ so erhält man eine Folge mit dem Limes 0, also ergibt auch diese Möglichkeit keinen ffoo-artigen Stückraum. In Я fällt daher die schwache mit der starken Konvergenz zusammen. W'^^ sei die Stelle, die in jeder Abteilung gleich dem yfc-ten Abschnitt bf = {1,..., 1, 0, 0,...} von b^'' ist. Diese Folge konvergiert schwach, also stark gegen b^'\ Sie konvergiert jedoch in keinem Яь(«> stark, denn X^y ist in der «-ten Abteilung gleich ffoo, W^ ist dort gleich e, die Abschnitte von e konvergieren in ffoo nur schwach, nicht stark gegen e.

In den Räumen gr fällt nach Satz 6 die starke mit der schwachen Konvergenz zusammen, in den dualen я, gilt der Grenzstellensatz.

§3 . Die JÉ-Koavergeuz.

Nach den Ergebnissen von § 2 ist die Forderung, daß eine Folge j^**^ aus dem Stufenraum Я««,««),... bereits in einem Х^щ stark konvergiert, schärfer als die Forderung, daß sie in Я stark konvergiert.