518 B.L. van der Waerden:

Zu dieser Kurvenschar sei wie oben ein System virtueller Werte gegeben. Wir wollen das Verhalten der Schar bei einer birationalen Transformation, die M wieder in eine glatte Mannigfaltigkeit M' führt, untersuchen.

Ist^ I ein allgemeiner Punkt von M und |' ein allgemeiner Punkt von M% so sind die |' rationale Funktionen von den | und umgekehrt, also kann man jede rationale Funktion von den i' auch durch die l ausdrücken und umgekehrt, also entspricht jeder rationalen Funktion ^(1) eindeutig und isomorph eine rationale Funktion ^'(i'). Auf Grund dieses Körperisomorphismus entspricht auch jeder Bewertung von U eine Bewertung von Ж und umgekehrt. Dabei kommt es nur endlich oft vor, daß einem höheren Primdivisor von M ein niederer visor auf JI' entspricht oder umgekehrt; denn nur endlich viele Prim- höchstteile von M werden in niedere Teile von Ж transformiert (vgl. wieder ZAG 6, Math. Ann. 110, § 6), und zu jedem dieser Primhöchst- teile gehört nach Satz 4 nur ein höherer Primdivisor.

Der linearen Funktionenschar (1) entspricht auf Ж wieder eine lineare Funktionenschar

fS == Кч>[Л------hlr9>'

und dieser wieder eine lineare Divisorenschar ohne feste Bestandteile

Щ == (<р1)Ш'8'-'.

Am einfachsten ist die Transformation der linearen Schar {Щ zu erklären, wenn diese keine Überwerte, also insbesondere auch keine festen Bestandteile S) hat. Dann ist Ъх = €;., und wir erklären die transformierte Schar ebenso als Ъ'х = Щ, ohne feste Bestandteile und ohne Überwerte. Das heißt also, wir setzen die virtuellen Werte für die transformierte Schar Щ == Щ gleich den effektiven Werten.

Etwas komplizierter wird die Transformationsregel, wenn werte vorhanden sind. Das Prinzip ist, daß die Überwerte erhalten bleiben sollen:

• (2) e(p) - t5(p) = eip') - V ip'),

wenn dem Primdivisor p der Primdivisor p' entspricht, gleichgültig ob es sich dabei um höhere oder um niedere Primdivisoren handelt; nur daß für die höheren vi^ == 0 zu setzen ist. Man verfährt nach so: zunächst wird Ш wie oben bestimmt. Sodann wird S' sammengesetzt aus denjenigen höheren Primdivisoren Щ', denen vor der Transformation solche höhere oder niedere Primdivisoren Щ oder p entsprechen, die Jn {Щ einen Überwert haben, mit Exponenten gleich diesen Überwerten^ damit (2) für diese f erfüHt ist. Solche Divisoren W gibt es nur endlich yiele; denn es gibt nur endhch viele in S) gehende höhere Щ und auch nur endlich viel niedere p, die bei der Transformation in höhere übergehen. Jetzt sind Sf und Щ, also auch