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R . NevaBlïnna,-

5 . Umgekehrt кааа шав ааа jedem Raadweg L eiaea beliebigea bescbräaktea Wert f{L) zaordaea aad eiae Fuaktioa и aafsuchea, die auf F harmoaiscb aad beschräakt ist aad aaf „fast allea" Wegea L gegea dea vorgegebeaea Raadwert / strebt. Ob die Lösang dieser Aafgabe geliagt, bäagt davoa ab^ iawlefera die Faaktioa f{e% welche dareîi Obertragaag aas /(L) eatsteht, im LKBiseuEsehea Siaa meibar ist. Voraasgesetzt, daß dem so ist, bat maa für die Lösaag des Raadwert- problems die obige Darstellaag mit Hilfe des PoissoNschea lategrals. Sie stellt aämlich eiae iabezag aaf die Orappe (S) aatomorphe Potea- tialfaaktioa mit dea vorgegebeaea Raadwertea dar aad ergibt also^ aaf die Fläche F äbertragea, das gesachte eiadeatige Poteatial.

6 . Naa ist aber die Meßbarkeitsfrage, za der die obige Betrachtaag fährt, aieht leicht za eatscheidea. Es zeigt sich aämlich, daß schoa das viel spezieüere Problem: Die Raadwegmeage (L) ia zwei komple- meatäre Meagea {L\, {L\ za zeriegea, welche beide positives Maß habea^ Schwierigkeitea begegaet. Dieses besoadere Problem hat für gewisse aktaelle Fragea der Theorie der offeaea RiEMANNschea Flächea lateresse. Wie obea schoa bemerkt warde, existiert aaf eiaer aallberaadetea Fläche F keiae aichtkoastaate, eiadeutige Poteatialfaalçtioa. Die Frage ist aaa: gibt es aaf jeder positivberaadetea Fläche stets solche Faak- tioaea? Maa sieht dea Zasammeahaag dieser Frage mit der obigea Raadwertaafgabe eia. Ia der Tat, eiae aotweadige aad hiareicheade Bediagaag dafür, daß solche Poteatialfaaktioaea existierea, ist gerade^ daß die Meage (L) eiae Zerlegaag ia zwei Teilmeagea voa positivem Maß zaiäßt. Die Notweadigkeit dieser Bediagaag ist eiae direkte Folgeraag aas dea Überiegaagea voa Nr. 4. Die Bediagaag ist aber aaeh hiareichead. Deaa weaa eiae solche Zerlegaag möglich ist, so kaaa maa dea Wegea {L\ dea Raadwert / = 1, dea Wegea (L), die Werte Nall zaordaea, aad der obige Aasatz mit dem PoissoNschea lategral fährt za eiaer bescbräaktea, aichtkoastaatea, eîadeatigea Poteatialfaaktioa aaf F.

Falls die РШйе F eadüehes Geschlecht hat, so läßt sich diese Koastraktioa stets voraehmea, aad dasselbe gilt, wie ich ia eia^r demaächst erscheiaeadea Arbeit gezeigt habe, aach fär gewisse Klassea voa Ptlehea mit aamdiichem Geschlecht, wobei ich alierdiags dea Beweis dpreh rädere Methodea als die hier aagedeatete gegebea habe.

7 . Ich möchte zam Schlaß darch eia Beispiel zeigea, daß die Frage= aaeh der Meßbarkeit der hier betrachtetea Pwaktmeagea Ш aaf der Peripherie \z\ ^ 1 mit Vorsieht za behaadela ist. Betrachtea wir hierza eiae Fläche F, die eatweder geschlossea ist oder eiaea Nallraad F bat. Wie ia Nr. t ЬШе maa mittels der Grappe (5^, welche der aai- verseilea Überlageraagsiäche F voa F eatspricbt, die Meagea (0 der Iipi^^atea Paakte mi der Peripherie. Daaa ist eiae der ia Жг. 7 besprocbeaea Zerlegaag eotsprecheade Eiateiiaag der Periphepepaakte