Ebene Variationsprobleme mit freien Endpunkten 101

2 Relatives Minimum Die zulassige Kurve E^ x=^Xç^(t),y = y^ {t),t^^t^t^, mit dem Anfangspunkt (л;« (^i), Уо (^i) ) = ^i ™cl dem Endpunkt [x^ (^2). Уо {h)) = A hefert em relatives starkes Minimum von /(С), wenn eine Umgebung U von E^ und eine Umgebung ^i bzw «3 von P^ bzw Pg mit «i,SS2CU und SSi^ 9^2 = 0 existieren derart, daß fur jede zulassige Kurve CCU mit (^ (^1), У (к)) e «1 und {x {Q, у ih)) G ä?2 / (C) > /(£0) gilt Definition des lichen Minimums wie m I 3

3 Voraussetzungen Es seien die Voraussetzungen {V) erfüllt und E^ hefere em relatives Minimum Dann erzeugt Eq auch ein Minimum unter allen m U gelegenen zulassigen Kurven, welche m Pj beginnen und m 3?2 endigen bzw m Ш^ beginnen und in P2 endigen Daher befriedigt Eq (Л^) und (Б1), (Л2) und (Б2) Setzt man nun zusätzlich {A^), (B[), (Л2), (^a) aus, so genügt Eq (Ci) und (C2)

Es werde im folgenden die Gültigkeit von (F), (Л^), (B[), {C[), [Ä^) und (^2) vorausgesetzt Es geht dann durch P^ die Rißpunktkurve

t x = ^(a), y = Yj(a), \a--aQ\^ô, und es existiert die zugehörige Rißextremalenschar

a x = (p(t,a), y = ip{t,a), T^^t^T^, \а—а^\^о

Der Tangentenwmkel dieser Schar auf r sei i?(a), ihre Determinante Л (t, a)^ Durch P2 geht die Rißpunktkurve r, die zugehörige Rißextremalenschar sei a, ihre Schardeterminante J, ihr Tangentenwmkel auf r & Brmgt man die Schar 0 mit r zum Schnitt, so erkennt man, daß а auch auf r als Kurven- parameter und damit m ä als Scharparameter eingeführt werden kann Dann sind r und ä gegeben durch die Gleichungen

t x = ^[a), y = fi{a), \a — aç\^d,

und

ä x = ^[t,a), y = y){t,a), T^^t^T^, \а — ас\^д

Der Kurvenparameter t der Schar а kann außerdem so gewählt werden, daß (p{t^,ä)^l[a),^{t^,a)=ri{a),\a-aQ\^a,isi_ Im folgenden werde F (ç)(^,a), , щ[1, а)) =F{t, а), F{^{t, а), , îpt{t. а)) =^F{t, а) gesetzt Es sind nun zwei Falle zu unterscheiden

I Л [t, «o) > 0 m [^1, У Dann ist Л {t^, a^) =A{t^,ao)>0 а kann so gewählt werden, daß H^) =-Fy{t^, a), rj{a) ^F,(t^, a) Der Bogen [t^,t^] von £"0 liegt bei (t^, ßo) bzw (2^2, a^] auf der negativen Seite von r bzw der positiven Seite von t

II A{t, ao)<0 m pi,y, also Ä{t^, aç,)=A{t^, а^)<0 Dann kann а so gewählt werden, daß i{a) = Fy(t^, a), ri(a) = --F^^2> ^) ^0 liegt bei {t^, a^ bzw (^2.^0) auf der positiven Seite von r bzw der negativen^Seite von t

Anschheßend seien noch einige Relationen zwischen а und а zusammen-

gesteUt Esist ç?(^2> «) =H^) =^{h> ^)^w{h> ^) =^H =Щк>^) m I «- ч\ ^ ^• Außerdem gilt ср{t, а^) = х^{t) =^[t, а^), гр(t, а^) = у^(t) = ïp[t, а^) inT^^t^T^