über das Produkt von paarweise vertauschbaren zyklischen Gruppen 255

Beweis Der Beweis wird durch Induktion nach der Gruppenordnung erbracht Da sich die Voraussetzung auf alle Faktorgruppen von Q^ übertragt, genügt der Nachweis eines von (5) und й verschiedenen auflösbaren Normal- teilers von (3

Es darf § r^ Й! = S angenommen werden, da sonst § ^ ® den gewünschten Normalteiler liefern wurde

Ist fî nicht maximale Untergruppe von 05, so gibt es em U = Й) • §i mit G J ^1Ф § Nun ist ® = U § mit U ^ § > §1, also ^^ em von @ dener Normalteller des Durchschnitts U^^ Wegen ^i<l§ gibt es einen Normalteller Эгф® von ® mit 9fJ<U (s Ore [9] S 238 oder Rédei-Szép [12] S 436) U ist nach Induktionsannahme auflösbar, 3Î als Untergruppe von U ebenfalls

Ist ® maximale Untergruppe von @, so darf angenommen werden, daß ^ sein eigener Normalisator ist (Sonst hat man Й'<1(^ ) Fur mindestens em GÇ® sei nun Й^фЙ, aber Й^г.й) = 2)ф@ Dann istîXlS, Ф<3®^, also auch ®<{Й, Й^} = ® Ist ]edoch fur ^^фй stets ®^гл^ = ®, so stelle man @ dar als transitive Permutationsgruppe der Nebenklassen nach Й Bei dieser Darstellung wird § regular dargestellt (Aus § п.й^ф@ mit G = KH wurde namlich folgen § о Й^Ф S und dann durch Transformation mit H'^ die falsche Aussage §^ '^й = §^йфй) Da Й eigener Normalisator ist und mit allen semen Konjugierten den Durchschnitt @ hat, bleibt bei Й nur em Symbol fest Dies gilt auch fur die fê^ § und die й^ enthalten genau

( # ) + ((^)-i)(§) = (§)(®) = (®)

Elemente von (3, erschöpfen also ganz (3 § enthalt daher alle Permutationen von &, welche kein Symbol fest lassen und, abgesehen von E, auch nur diese Da auch H^ mit H f^, НфЕ und beliebigem GÇ@ kein Symbol fest laßt, folgt Я^С§, §<© Damit ist der gewünschte Normalteiler nachgewiesen

Hilfssatz 21 Ist pk\{{-^})» ^^ ^^^ {АЩ {B} егпв Untergruppe von ® vom Index pj^

Satz 22 Dte Sylowgruppe ^^ zum größten Pnmteiler der Gruppenordnung ist Normalteiler von % (Siehe Wielandt [18] )

Es ist zweckmäßig, Hilfssatz 21 und Satz 22 gemeinsam zu beweisen, und zwar zuerst eine schwächere Form von Hilfssatz 21, mit dieser dann Satz 22 und schheßlich den vollen Hilfssatz 21 unter Verwendung von Satz 22

a ) Behauptung {Л^*} {В} oder {А} {Б^*} ist eine Untergruppe von @ vom Index pj^

Beweis Sei 5Я em minimaler Normalteiler von @, die Ordnung von SR ist eine Primzahlpotenz p\ Ist ри\{®1Щ> so kann man vermöge einer tionsannahme behaupten, daß etwa {Л^* В, Щ eine Untergruppe von @ vom Index pf^ ist

{ { AP'' } { B ] ) = ^^^^ mit Ф* = {Л^*}-{В}