Abschätzung der asymptotischen Dichte von Summenmengen 473

Die durch (20) und (21) gegebene Zuordnung der Mengen 83^ zu den % dehnen wir auf die von %, ,\ abgeleiteten Mengen at^ aus, indem wir m (20) und (21) einfach 21, 58,Д^,®, durch К>КЛ1,% ersetzen, daß die Mengen 21^ tatsachhch eine Darstellung nach Art der Formeln (20) zulassen, sieht man so Zunächst sei 21^ = Sa^im v = 2, ,n wahrend % und Щ aus % und 9(i durch eine ^^-Transformation hervorgehen

% = ^0^ («1 + e), я; = ^,г^(Жо - e)

Dabei wollen wir der Einfachheit halber annehmen, daß e m ^^ = {i^g-{-f^ liegt ^ = Ci g + r^ Dann ist

% =Д(^/.^ + ^)^(®i^ + ^1^ + h) = [(ei^(®i + c,)) g + r,]^Uj(^,g + r,) к = ®ig- и (G, -c,)g + r^- r,] = [^,r.[^ - c,)] g, letzteres, da die Zahlen r^ — r^ fur /г Ф1 nicht durch g teilbar sind, imd

K = ®.g {v==2, ,n)

Dies sind gerade Darstellungen von der Art der Formeln (20) Durch Vergleich erhalt man

e ; =^^^ { ъ^ 4- q) ф; = î)i^ (6i - q)

e ; - s^ (д = 2, ,Ä) ф: = ф, (r = 2, ,n)

ci und Ф^ entstehen aus Ki und Ф^ also wieder durch eine ^-Transformation Da hierbei e = c-^g + r^ behebig aus 9îi, also c^ behebig aus ^, gewählt werden kann und wir außerdem das Indexpaar/< = 1, r = 1 durch em beliebiges anderes u = k, v = l ersetzen können, ergibt sich das Resultat Einer ^-Transformation, angewandt auf % und % entspricht bei den Mengen E^ und Ф^ wieder eine ^-Transformation zweier Mengen g^^ und Ф; und umgekehrt Da nun die Mengen Ю, mit den S^ und Ф^ m ganz ähnlicher Weise zusanunenhangen wie die Mengen %, so hat man Einer ^-Transformation zweier Mengen % und % entspricht eine ^-Transformation von ©o ^^^ ®/ ^^^ umgekehrt Durch mehrmalige Anwendung dieses Schlusses erhalt man endhch das Ergebnis: Bei der durch (20) und (21) gegebenen Zuordnung entsprechen den von %> >\ abgeleiteten Mengen die von So» >^n abgeleiteten Mengen und umgekehrt Als letztes müssen wir untersuchen, wie sich die Voraussetzung

g ( Û 21Л == g( и 9lJ = g und die Behauptung 31^^^ '-^ 9t übertragen Die erste ist

\v=i 7 \v=i 7 / « \ / ** \

nach (20) gleichwertig mit g^( U ®vl = §^(^U ®,j = 1 und dies nach (21) nut

g ( Û Ш = g( US5J = Ä, die zweite ist nach (22) gleichbedeutend mit

g -I- 2 Ф^'-^З fur /г == 1, ,h, also nach der zweiten Formel (22) mit 93^*^ '^ЗЗ oder, da S3 aus jeder Restklasse modulo h eine Zahl enthalt, mit 93 ^^3 Wir