Das Hyperzentrum einer Gruppe. III.

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überauflösbarer Gruppen überauflösbar sind; und es folgt aus Satz В, daß endlich erzeugbare obemilpotente Gruppen auch überauflösbar sind.

Lemma 3. Abelsche Normalteiler mit überauflösbarer Faktorgruppe sind dann und nur dann oberkyperzentral, wenn sie hyperzentral sind.

Beweis . Die Notwendigkeit der Bedingung ist in Satz С enthalten. Es sei darum N ein abelscher, hyperzentraler Normalteiler von G mit lösbarer Faktorgruppe GjN. Es gibt N enthaltende Normalteiler X von G derart, daß N ein oberhyperzentraler Normalteiler von X ist, z.B. X-N. Da aber die Maximalbedingung von den N enthaltenden Normalteilem von G erfüllt wird, so gibt es einen maximalen N enthaltenden Normalteiler W von G derart, daß JV ein oberhyperzentraler Normalteiler von W ist. Wir woUen zeigen, daß И^=С ist. Wäre dies nicht wahr, so folgte aus 7V^ P7<G und der Überauflösbarkeit von GjN die Existenz eines W enthaltenden Normalteilers V von G derart, daß VIW eine von 1 verschiedene zyklische Gruppe ist Aus der Maximalität von W folgt dann, daß N kein zentraler Normalteiler von V ist. Folglich existiert ein M<iV erfüllender Normalteiler M von V derart, daß

{ NIM ) r . Z { VjM ) = \

ist Es sei Wv ein erzeugendes Element der zykhschen Gruppe VIW. Da N ein oberhyperzentraler Normalteiler der Gruppe W ist, und da M ein teiler von V und W ist, so ist

1Ф (^v/м)r^z(TF/м) = л/м.

Es ist also A*=AIM ein abelscher Normalteiler der Gruppe U*^{A, v}!M mit zyklischer Faktorgruppe U*IA*^ {A,v}IA, da ja das Zentrum von WjM als charakteristische Untergruppe des Normalteilers Ж/М von VjM auch ein Normalteiler von F/M ist, und da also A* ein Normalteiler von F/M ist. Da aber N ein hyperzentraler Normalteiler von G ist, so ist A* em zentraler Normalteiler von U*; und da U*1A* zykhsch ist, so ist U* nilpotent; s etwa H II Satz 1. Es folgt aus Hüfssatz 3, daß U* obernilpotent ist, daß also A* ein oberhyperzentraler Normalteiler von U* ist, und daß also

gilt . Aus Г= {W, v} folgt nun aber, daß

l = (NIM) r.Z(VIM) = [NIM] r.Z(WIM) r.Z{U*) = A* ^Z(U*) Ф 1

ist , ein Widerspruch aus dem wir W^G und die Überhyperzentrahtät des Normalteilers N von G folgern, q.e.d.

Bemerkung 3. Die in der Definition 2 auftretende Bedingung (a) ist für die Gültigkeit von Lemma 3 unentbehrlich. Denn es existieren Erweiterungen abelscher Gruppen durch abelsche Gruppen, die beide unendliche ^-Gruppen sind die also auch nilpotent sind, trotzdem ihr Zentrum i ist; s. etwa Baer