Hellwig , g

Math Zeitschr Bd 61 S 26—46 (1954)

Über partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung von gemischtem Typus.

Von

GÜNTER Hellwig.

Einleitung .

Wir betrachten die partielle Differentialgleichung

( 1 ) L[u] = (Ä (X, y) щ)^ — (С [X, V) Uy)y — D[x,y)u=F [x, y)

mit reellen Koeffizienten und machen zur Erläuterung unserer stellungen m der Einleitung die folgenden, spater noch zu ergänzenden aussetzungen

( a ) A{x,y),C{x,y) fur г^^х<0, Окх^г^, — oo<y< + oo stetig dif- ferenzterbar

( ß ) Fur X > 0 tst AC > 0 und mit E(x, y) = 1/ ^^^ ^| tst ferner \E(x, y)\ ^

Mi ( x ) , \E(x, y^)—E(x, у2)\^М2(х)\у-^ — у2\, so daß jM^(x)dx<oo fallt 0

( y ) Es tst lim E (x, y)==0 oder lim E ix, y) = oo

X :>Q X >0

[ à ) Fur x<0 ist AC<0 und A{x, y)=A^{x) A'^[y), C{x,y) = C^{x) C^{y) Die Charaktensttken von (1) werden durch die Differentialgleichung A{x, y) dy^~C{x, y) dx^ = 0, die charaktensttschen Richtungen durch

^ ' dx ^ ^ ' ^' ^]l A{x y)

festgelegt Wir nennen (1) m einem Punkt P {x,y) von elliptischem Typus, wenn dieser Punkt Trager keiner reellen charakteristischen Richtung (2) ist (C/i4<0) (1) wird m P von hyperbolischem bzw parabolischem Typus nannt, wenn P Trager genau zweier verschiedener, reeller charakteristischer Richtungen (2) (С/Л > 0) bzw Trager genau einer charakteristischen tung (etwa С/Л=0) ist^) ,

Die Gl (1) ist fur x>0 hyperbolisch, fur x<0 elliptisch und wegen aussetzung (y) fur :^ = 0 parabolisch Auf der parabolischen Kurve ï (y-Achse) präzisieren wir den Sachverhalt Wir nennen ï a) Trager der charakteristischen Spitzen, wenn lim £ (л:, y) = 0, b) Einhüllende der Charakteristiken, wenn

x - >Q x>Q

1 ) Die übliche Definition ist AC<Q elliptisch AC>0 hyperbolisch, AC = 0 bolisch Dabei muß jedoch zusätzlich gefordert werden daß A, С überall stetig sind Außerdem hat man meist auch \A\-\- \C\ > 0 vorausgesetzt Beides werden wir nicht tun Nach unserer Definition ist z В (д; wj^, —дг w^^ == о überall hyperbolisch