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Karl Zeller:

3 . Beispiele

a ) Einfolgenverfahren. Im Rahmen der Untersuchung des perfekten Teils eines Wirkfeldes, also der abgeschlossenen Hülle von ©^ im F-Raum 21, interessieren die beiden möghchen Extremfälle, nämhch Sc = 21 (perfektes Verfahren, s. oben) und ©c= 6^. Letzteres tritt auch bei nicht gleichen Verfahren, also bei 21ф©сэ auf; die Abspaltung des perfekten Teiles ist dann trivial. Die einfachsten Beispiele werden gegeben durch die ,,Einfolgen verfahren", die im wesentlichen nur eine divergente Folge df^ limitieren, was genauer heißen soll, daß das Wirkfeld aus den Folgen der Form а • dk + konvergente Folge besteht (Mazur [1928], Darevsky [1946]). Jedoch gibt es auch kompliziertere Verfahren mit ^ç=(Bc, wie folgende Ergebnisse von Wilansky-Zeller [1955] zeigen:

Sind endlich viele Folgen gegeben, die über der Menge der beschränkten Folgen linear unabhängig sind, so existiert ein permanentes Verfahren, das im wesentHchen nur diese Folgen ümitiert. Sind abzählbar viele Folgen mit derselben Unabhängigkeitseigenschaft gegeben, so existiert ein permanentes Verfahren, das diese Folgen, aber keine beschränkt-divergenten Folgen limitiert. Ein konvergenztreues Verfahren limitiert genau dann keine schränkt-divergente Folge, wenn der perfekte Teil des Wirkfeldes gleich ©c ist.

Das letztgenannte Ergebnis zeigt, daß die vorher konstruierten Verfahren minimalen perfekten Teil besitzen; außerdem ist es z.B. für den Beweis von Lückenumkehrsätzen wichtig. Das erste Resultat ermöglicht, Wirkfelder um wenige Folgen zu vergrößern, wobei der perfekte Teil ungeändert bleibt. Das zweite zeigt, daß der perfekte Teil von unendHchem Defekt im Wirkfeld sein kann. Allgemeiner kann auch bei Verfahren mit ®c+®c der perfekte Teil unendHchen Defekt haben; und eben hier tritt die Hauptschwierigkeit bei der Abtrennung des perfekten Teils auf. Ist dieser hingegen von endlichem Defekt, so kann die Isolierung einfacher als im allgemeinen Satz geführt werden.

Einfolgen verfahren gestatten die Aufstellung von „Gegenbeispielen'' bei Fragen über VerträgHchkeit, Vergleich, Indexverschiebung, gungen usw. Einfache Beispiele von Einfolgenverfahren stellen die Matrizen

mit lim {а^, + Ь^,) = \, Ит\а^\<1ка\Ь,,\<оо dar ; durch Produktbildung von n Matrizen erhält man „n-Folgenverfahren'* (Zeller [1950], [1953]). Dies leitet zu den Huntemann-Verfahren über, bei denen solche Matrizen auftreten.

b ) Hvf^TEMAT^N-Verfahren. So nennen wir die Verfahren, die den Matrizen der Form b^k^a^-^ {k^n), 5^^^ = 0 sonst, zugeordnet sind. (Huntemann [1938] und andere Autoren betrachten allerdings nur den Fall, daß fast