über eine Anordnungsbeziehung am Dreieck

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so braucht es weder drei Punkte a, ß, y mit [a, ß\y] noch drei Geraden g, h, k mit [g,h\k] zu geben.

Wie man leicht nachrechnet, gilt für Zwischensymbole folgende Regel:

( 1 ) [oi.ß\y]'[^,o\y] = [ß,o\yl

( 2 ) [g,h\k]-[g,j\k] = [Kj\kl

d . h . mit [oL, ß\y], [a, ô\y] stehen auch die Punkte ß,y, ô in der Beziehung [ß,o\y] und mit [g,h\k], [g,j\k] auch [h,j\k].

Jetzt kann man folgenden Satz aussprechen, der eine Antwort auf die oben gestellte Frage geben soll:

Satz . Eine Ordnungsfunktion h (a), die der Dreiecksrelation genügt, erfüllt die Geradenrelation, wenn es mindestens drei Punkte a^, ag, ag mit [a^, ag | ag] oder wenn es mindestens drei Geraden

Für den Beweis dieses Satzes nügt es, zu zeigen, daß für alle Punkte- tripel a, ß, y, deren Punkte voneinander verschieden sind und die auf einer

Geraden liegen, [a, j3|y] gilt oder daß - Fig 2

für alle Geradentripel g, h, k, deren

Geraden voneinander verschieden sind und mit einem Punkt inzidieren, [g, h\k] gilt. — Zuvor beweisen wir zwei Hilfssätze. Setzt man für eine feste Ordnungsfunktion h(oL) die Dreiecksrelation voraus, so lassen sich folgende Anordnungsaussagen beweisen :

Hilfssatz 1. Sind in einem vollständigen Viereck C,aL,ß,y jeweils a,b, c, d, e, f die Verbindungsgeraden von [ß,y), (a, y), (a,/3), (C, a), {^,ß), (C, y) und sind d, e, (p jeweils die Schnittpunkte einer beliebigen mit С inzidieren- den Geraden z^d,e,f mit a, b, с (s. Fig. 2), so folgt aus der Gültigkeit einer der Beziehungen [s,q)\ô], [e, f\d] stets die andere.

Beweis . Wendet man auf das Dreieck a, e, 99 hinsichtlich der Geraden a, e, f die Dreiecksrelation an, so folgt

( 3 ) ^(e) ^Ы ^ W e{(p) f{(x) f(6) = 1.

a' sei ein beliebiger von С imd а verschiedener Punkt der Geraden d. Dann bezeichnen wir mit b' und c' die Verbindungsgeraden (a', e) und (a', (p) und mit ß\y die Schnittpunkte (c\ e) und (b\f). Nach dem kleinen Satz von Desargues geht dann die Verbindungsgerade a' von (ß\ y') durch д. Wendet man jetzt die Dreiecksrelation auf das Dreieck ol', e,(p hinsichtlich der raden a\ e, f an, so erhält man

( 4 ) a'{8)a'{(p)e(oL')e{(p)f{a')f{8) = i.