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Bertram Huppert

Gibt es em ^ mit (^) = р{Ш), so hat g die Gestalt ^ = ВрШ mit einer zyklischen Untergruppe Sp von S Nach Itô [8] ist ^ auflösbar Wir stellen nun @ dar als Permutationsgruppe der Nebenklassen von 3 Dabei werde & auf die Permutaüonsgruppe & vom Grade q abgebildet Es ist ß)\q^ Wegen p>q folgt pi(®) Also ist die homomorphe Abbildung von ® auf ® nicht treu, vielmehr wird em m ^ hegender, von g verschiedener Normalteiler ^ von @ auf ß abgebildet Als Untergruppe von 3 ist ^ auflösbar, womit wir einen auflösbaren Normalteiler ф® nachgewiesen haben Weiterhin dürfen wir also annehmen, daß jede maximale Untergruppe 3 von @, welche Ш umfaßt, die Ordnung (^)=q{m) hat und sich als Produkt ^ = Sq^ mit einer zyklischen Untergruppe 3^ von Й der Ordnung q schreiben laßt Alle diese g sind nach Ixo [8] auflösbar.

c ) Sei p I {Ш) Dann gilt dl {%) >Ш Da 9^^ keine ^-Sylow Gruppe von @ ist, folgt nach einem bekannten Satz (Zassenhaus [i(5], S 105, Satz 10) Р\{^(Шр)1Шр) Mithin kann 9^(9^^) m keiner der maximalen Untergruppen 3 = B?3^ hegen, muß also mit & übereinstimmen Dann liefert uns Щ den gesuchten Normalteiler von @ Wir können daher m der Folge annehmen daß р^(Ш)

d ) ^q = % = Sq'^j ist fur jedes ^ eine ^-Sylow-Gruppe von & (s Wie- LANDT [15], S 3) Ist Ш^ф(&, so hegt ^ = S(®q)r^% m gfö) Nun ist Ш, maximal m @^, daher %<1&^ und dann bekanntlich Ъ = Si^q) ^Ш^ф^^ Wegen (@ ^)=p ist die Anzahl der Konjugierten eines Elementes D=^E von S) em Teiler von p Nach einem bekannten Satz von Burnside ( ser [12], S 193, Satz 169) ist dann & nicht einfach Sei Ш em minimaler, von e verschiedener Normalteiler von_® Ist ЙШ ф_®, so hat ЙШ die Gestalt 9^Й mit ß<:£ Wegen (ЗфЙШ ist Ö4.S,_daher Й zyklisch und Ш nach Itô [<^] auflösbar Als Untergruppe von 9^0 ist dann auch Й: auflösbar Sei also Й9^ = @ In gleicher Weise können wir annehmen, daß auch ®й = (5^ gilt, sonst ware Sß = ??2mit9^<9^ nach unserer Induktionsannahme lösbar und t ebenfalls Aus t^ = ® und ^2 = @ folgt nun (@/й)| (9^) und (®/t) I (Й), also (®/й) = q Sicher ist dann p \ (й) Da Й als minimaler Normal- teuer em direktes Produkt von isomorphen einfachen Gruppen ist, aber ^T (i)_gilt, so ist_t selbst einfach Aus @ = 3^ ^ ergibt sich nun U = Sp^$ mit (3/S) =q Ist 3 ^ Ш, so ist Ш nach unserer Induktionsannahme auflösbar und wir sind fertig Ist aber S $ 5K, so folgt ^Ш = % also (3 9^) = ^ = (S 3^ ^0 Sicher ist Ш + ^глШ, denn sonst ware 9^^5^Й, daher Й = йШ = ®, im Widerspruch zur Nichtemfachheit von ® Wir setzen 5oJ^ = 9î Ware %ф^, so wurde wie oben aus dem Satz von Burnside folgen, daß U nicht einfach ist, im Gegensatz zu unserer Annahme Daher ist notwendig 9?^ = ©, also ^Ч(Эг) und dann q^i(&) Insbesondere ist Щ abelsch Dies trifft auch dann zu, wenn qi^ Daher können wir weiterhin annehmen, daß ®^ abelsch und dann @ g-normal ist (s Zassenhaus [16], S I35)

e ) Fur eine geeignete, m einem 3 = 3^91 hegende ^-Sylow-Gruppe @q von ® gilt Щ = ВдХЩ, wobei eventuell 9^^=® sein kann (s Wielandt [15], S3) Sei nun 2 = SpSq> wobei Qp und Sq bzw von Zp und Z^ erzeugt werden