über die Äquivalenz der | B^ | -Verfahren J g7

Hilfssatz 3. Die Funktion f{z) sei im abgeschlossenen Quadrat Ü (Q-

ïLV : V^^' ^ = ^ + *» "^'^ '^'»' ^^^<^ R regulär. Dann gibt es zu jedem л-0,1, 2,... und p>0 Konstanten A{k,p) derart, daß gilt

( 7 ) \t''40)\''^A{k.p)j\f{z)\P\dz\.

R 'II

Beweis . Wir betrachten zunächst den Fall k = 0. Ist /(0) = 0 so ist nichts zu beweisen. Es sei daher /(0)ф0 und insbesondere /Ы фо weshalb

™rchhf "f '"b' rfr ^^'^-■•••^" ^" ^ hat/l/e seiert r Vielachheit entsprechend aufgeführt. Nun bezeichne w^g,{z) eine konforme Abbildung von Q auf \w\<X mit g,^=0; g^ ist in Ç regulär und hat genau eme Nullstelle in Q an der Stelle z,. Daher ist die Funktion

F { z )

/ W

^iW . . . . . ? „ H

in g regulär und nuUsteUenfrei. In Q ist diese Funktion stetig, da alle s iz) m Q stetig und auf dem Rande фо sind. Daher gilt

also

{ F { Ç ) ) V' — ^ riFWP^

^ « Ä

also gilt (7) im Falle k^o.

Für den Fall k = \ betrachten wir die Funktion Л (г) = iM^l/.№ . Die

l'^mïT'^'^ri^^^T^ " '' '^^ ''^^*'"*' "^^ ^^^"« bereits'bewiesene Gültigkeit im Falle k = 0 hefert

( 8 ) « '

^^ ( 0 . ^ ) / [ | / ( ^ ) | + i/(0)|]^|<iz|.

austs ) " ^^^'' ^' ^"* П/(^)| + |/(0)|]^^|/(.)|^ + |/(0)|^ und somit folgt

\f'^'' ) \'^MO . P ) { ! \f ( z ) \P\dz\ + \f{0)\Pf\dz\Y also zusammen mit (7) im Fall ife = o

\ПЩ^^А ( 0 , р ) [ \ + ^A{Q.p)]j \f{z)\P\dz\.

R

ß ) P^i. Die MiNKOwSKische Ungleichung liefert dann

Ul\n^ ) \ + \m\r\dz\Yp^y\fi,)iPldz\y'''+y\f(o)\p\dz\Y\

Mathematische Zeitschrift. Bd. 64

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