304

Konrad Jacobs:

Filters F in ^ stets eindeutig durch F bestimmt, hängt linear von F ab und seine Norm beistzt, falls F beschränkt ist, dieselbe Schranke wie F.

Ist § von endlicher Dimension, so ist die schwache Topologie zur starken Topologie äquivalent. Ist § von unendlicher Dimension, so ist dies niemals der Fall. Man kann z. B. beweisen, daß jedes beschränkte Filter in § sich zu einem Cauchy-Filter bezüglich der schwachen Topologie verfeinern (Bourbaki [9], S. 8) läßt (die Verfeinerung muß nicht notwendig schwach-konvergent sein); dagegen gibt es in jedem unendlich-dimensionalen Banachraum schränkte Filter, die sich nicht zu einem Cauchy-Filter bezüglich der starken Topologie verfeinern lassen (vgl. Riesz [50], S. 7S; Ban ach [4], S. 84).

Die Gleichung (2) stellt eine Beziehung zwischen der schwachen und der starken Topologie in § dar. Eine schärfere Beziehung liefert der

Satz I.l (Mazur). Jede konvexe stark-abgeschlossene Menge in § ist auch schwach-abgeschlossen (Bourbaki [10], S. 73; Nikaido [48]).

Man kann zum dualen Banachraum ^' von § nochmals den dualen Banachraum §" bilden und einsehen, daß § auf natürliche Weise isometrisch in §" eingebettet ist: $^§''. Hierbei gilt im allgemeinen nicht das heitszeichen (vgl. Riesz-Nagy [54]y S. 211).

Definition I. Der Banachraum § heißt reflexiv, wenn ^ = ^" gilt, d. h. wenn es zu jeder stetigen Linear form L auf ^' einen Vektor hÇ:^ gibt, derart, daß

Щ' ) = (^> è') für jedes g' G |>' gilt.

Ein Kriterium für die Reflexivität von Banachräumen liefert der

Satz 1.2 (Banach-Arens). Der Banachraum ^ ist dann und nur dann reflexiv, wenn jedes beschränkte Filter F in ^ eine schwach-konvergente feinerung besitzt (BanACH [4], S. 189; Arens [S] ; vgl. auch den sehr eleganten Beweis von Nikaido [48]).

Anmerkung . Da man jedes beschränkte Filter in § zu einem Cauchy- Filter bezüglich der schwachen Topologie verfeinern kann, ist die Reflexivität von § äquivalent zur Schwach-Vollständigkeit von § (falls man nur beschränkte Filter in Betracht zieht).

Beispiele reflexiver Banachräume sind die gleichmäßig-konvex (Clarkson [11]) normierbaren Räume (Pettis [49]; Nikaido [48])', ebenso die ,, mäßig-flach'* normierbaren Räume (Day [14]) Nakano [44]). Insbesondere ist jeder Hilbertraum ein reflexiver Banachraum (man kann sogar schon |)' mit § identifizieren). Es gibt aber auch reflexive Banachräume, die sich nicht gleichmäßig-konvex normieren lassen (Day [12]).

Man beweist ohne Schwierigkeit den

Satz 1.3. Jeder Teilraum eines reflexiven Banachraumes ist ein reflexiver Banachraum. Ein Banachraum § ist dann und nur dann reflexiv, wenn auch der duale Raum ^' reflexiv ist.