GUNDLACH , К.-В.

Math . Zeitschr. Bd. 64, S. 339—352 (1956)

Poincafésche und Eisensteinsche Reihen 2ut Hilbertschen Modulgruppe

Von

Karl - Bernhard Gundlach

Einleitung

Bei der Behandlung der Hilbertschen Modulgruppe hat man sich bisher im allgemeinen auf den Bereich beschränkt, in dem die Imaginärteile der Variablen positiv sind. Die Hilbertsche Modulgruppe eines total-reellen algebraischen Zahlkörpers К ist bekanntlich die Gruppe der linear gebrochenen Substitutionen mit Determinante 1 und ganzen Koeffizienten aus diesem Körper. Ordnet man jedem der n zu К konjugierten Körper eine komplexe Variable zu und versteht unter der Anwendung einer Substitution der Gruppe die gleichzeitige Anwendung der n zu den n konjugierten Körpern gehörigen Substitutionen mit konjugierten Koeffizienten jeweils auf die dem betreffenden Körper zugeordnete Variable, so erhält man eine Substitutionsgruppe, die die Vorzeichen der Imaginärteile der Variablen ungeändert läßt. Diese Gruppe stellt in jedem der 2" Gebiete mit verschiedenen Vorzeichenkombinationen der Imaginärteile der Variablen eine hyperabelsche Transformationsgruppe dar.

Im Falle einer Variablen, also bei der gewöhnlichen Modulgruppe, sind die beiden Gebiete, die obere und die untere Halbebene, vollkommen berechtigt, und man kommt durchweg mit einer Halbebene aus. Für n>i haben nun aber die Untersuchungen von O. Herrmann [2У) ergeben, daß es in der Tat nicht nur nötig ist, alle 2^ Gebiete gleichzeitig zu betrachten, sondern daß man außer der Hilbertschen Modulgruppe noch eine Reihe von weiteren Gruppen gleichen Typs zu demselben Körper untersuchen muß, die den Idealklassen des Körpers zugeordnet sind. Überdies hat sich gestellt, daß die 2** Gebiete zur Hilbertschen Modulgruppe keineswegs berechtigt sind.

Betrachten wir als Beispiel den Fall eines quadratischen Zahlkörpers mit total-positiver Grundeinheit und Klassenzahl 1. In den beiden Gebieten, in denen die Imaginärteile der beiden Variablen gleiches Vorzeichen haben, kann keine ganze Nichtspitzenform der Dimension —1 existieren, denn Gleichsetzen der beiden Variablen würde eine ganze, nicht verschwindende Form der Dimension —2 zur gewöhnlichen Modulgruppe Uefern. In den beiden Gebieten, in denen die Imaginärteile der Variablen verschiedenes zeichen haben, erhält man jedoch mit Hilfe einer Eisensteinreihe explizit eine ganze Nichtspitzenform (§5).

1 ) Zahlen in eckigen Klammern beziehen sich auf das Literaturverzeichnis am Ende der Arbeit.