Eine nichtlineare Integrodifferentialgleichung der Wärmeübertragung 355

über dem Raum ©^ der über [0, h] stetigen nichtnegativen Funktionen f{x) untersucht; er ist so beschaffen, daß eine Fixfunktion dieses Operators die Gl. (1) löst und vorgeschriebene Randwerte JRq, R^ annimmt. Zum Nachweis der Existenz einer solchen Fixfunktion wird ein bekannter Fixpunktsatz für Funktionalräume von J. Schauder [Щ angewandt. Da sich aber keine menge des Raumes K^ angeben ließ, die durch U in sich selbst abgebildet wird, und deren i[/-Bild kompakt ist, wie es für die Anwendung des Schauder- schen Satzes erforderlich wäre, wird der Operator U zu einem Operator V abgeändert: Der Definitionsbereich von U wird auf die Menge % der tionen aus S^ eingeschränkt, die durch Min (Г^, 7^, i?Q, 2^J = ô und Max (Гд, 7^, T^Q, Rj^ = В beschränkt sind. Die Abbildung V geht aus XJ hervor, indem die Funktionswerte der [/-Bilder, die größer als В bzw. kleiner als Ъ sind, durch В bzw. Ъ ersetzt werden. Diese Abänderung ist sinnvoll; denn es kann bewiesen werden, daß eine Fixfunktion des Operators V auch Fixfunktion des Operators U ist, und daß der Operator V die Voraussetzungen des Schauderschen Satzes erfüllt. Dieser Existenzbeweis ist nicht konstruktiv.

Es bleibt weiteren Untersuchungen vorbehalten, die hier benutzten aussetzungen möglicherweise einzuschränken, um die Tragfähigkeit der gewandten Methoden auf eine noch größere Klasse von nichtlinearen Integro- differentialgleichungen auszudehnen. Wie die Bibhographie von J.Leray [Щ zeigt, erwies sich die Anwendung topologischer Fixpunktsätze auf analytische Probleme, vor allem Differentialgleichungen, als fruchtbar.

Eine numerische Behandlung des Problems für den Fall einer konstanten Absorptionsfunktion k{}) wurde vom Institut für Praktische Mathematik der Technischen Hochschule Darmstadt unter Leitung von A. Walther [12] in Angriff genommen.

Die Anregung zur vorliegenden Untersuchung ging von Frau Prof. R. MouFANG aus, wofür ich ihr zu großem Dank verpflichtet bin.

§1 . Problemstellung, Hilfsätze und Umformungen 1.1. Die zu lösende Integrodifferentialgleichung. Sie lautet:

oo h

( 1 . 1 ) l

e' - - = ПЦХ) sign(% - t) K^(k{X) \x~t\)E{X, T(t)) dtdX -

^ 2лп^ J J 0 0

00

- f { K , { kW x) E(X. r„) - K,{kß) (h - X)) E{X, T,)]dX —^-, T'(x).

0

Dabei sind gegeben:

a ) die nichtnegative, bis auf höchstens endhch viele Stellen stetige ( weis stetige) beschränkte reelle Funktion k{X) für 0^ A<+ oo,

b ) die nichtnegativen reellen Konstanten Tq,T^,x, n>0, h>0 sowie die nichtnegativen Randwerte Rq^R^^),

2 ) Den Physiker interessieren natürlich besonders die Randwerte Rq^Tq, R^^Tf^,