Zweifach transitive, auflösbare Permutationsgruppen

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Fall III._ Nun gebe es einen über GF(2) reduziblen abelschen teiler Ш von (3, der inäquivalente irreduzible Bestandteile besitzt. Wir können annehmen, daß es einen maximalen abelschen Normalteiler Ш von Ш mit dieser Eigenschaft gibt; andernfalls würde nämlich Fall I oder Failli liegen. Sei also

Ж

/ Ь^ [ Щ О ... О О L^ß) ... О

О О ... Ц{Щ'

wobei jedes Ь^{Щ über GF{2) höchstens in äquivalente irreduzible Teile zerfällt und den Grad t hat. Nun ist Щ imprimitiv ([5], Satz 2). Wir scheiden zwei Fälle:

III . 1. Zunächst_seien die L,(9Ï) irreduzibel über GF{2). Sei % derjenige Normalteiler von %, welcher alle Imprimitivitätsgebiete in sich überführt. Die Bestandteile Z), von % besitzen dann L^(lj als über GF{2) irreduziblen abelschen Normalteiler, sind also wie unter Fall I Gruppen von homogenen semilinearen Abbildungen. Wir bekommen daher |® 11 {{2^—\)ty. Die gruppe %l^ ist isomorph zu einer auflösbaren Untergruppe der symmetrischen Gruppe (Bj. Somit ergibt sich nun |®|| {{2^~\)tya, wobei a\j\, aber a für /^5 sicher von ]\ verschieden ist.

III . 2 . Nunjnögen die L,(S) über GF[2) gemäß L^I) = £^xP,(^) fallen. Da РД31) von der identischen Darstellung verschieden ist und wir Gruppen über GF{2) betrachten, ist GradP,(S)>l. Nun wenden wir die Betrachtungen von Failli auf die Teile В^Щ von % an und erhalten das Ergebnis, daß entweder die В^Щ abelsch sind oder 2w einen Primteiler ?'Ф2 enthält. Wegen 2m=jw Grad РДа) enthält aber 2m mindestens drei Primteiler, womit im zweiten Falle 2w^ 12 folgen würde. Für uns sind aber nur die Gruppen mit 2m^i0 von Interesse. Daher können wir annehmen, daß die В^(Щ abelsch sind und dann Ш = % gilt. Es ergibt sich nun |ф| | (2^— 1)^ und |®||(2^—l)^a, wobei а den gleichen Einschränkungen wie in III. 1 liegt. Die jetzt erhaltene Abschätzung ist aber schärfer als die von III. 1; daher braucht Fall III. 2 später nicht gesondert betrachtet zu werden.

Schritts . Durchrechnung für Fall А mit q = 2.

Die in Schritt 7 erhaltenen Abschätzungen für Щ tragen wir nun in die am Ende von Schritt 3 vermerkten Bedingungen für \^^\ ein. Die Fälle I bis III von Schritt 7 werden dabei getrennt betrachtet.

Falll . Nach Schritt 7 ist nun ^1(2^"^-i) 2m.

a ) Sei zunächst рф i{4) und p>}. Nach unserem Ergebnis unter Schritt } ist w ^ 3 und 5 = 1. Damit bekommen wir

p^ " ^ ^ i\{p - i) 2^^(2^'^ - i) 2m.

Jetzt müssen wir die erlaubten w-Werte mit m ^ 3 durchprüfen :

m = i: Nun folgt ;^ -b 1124. Es kommen also die Primzahlen ^ = 7, И, 23 in Betracht. Die weitere Behandlung dieser Sonderfälle verschieben wir auf § 4.