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Ernst - Au GUST Behrens:

der 3î-Untermoduln von fR/2ö== 3î mod %_^ auf den Verband von äB mod 5l,__2- Wiederholte Anwendung von со ergibt in q->co^~^ -q einen phismus zwischen den 5R-Untermoduln q von ^/2B und denen von W~^ mod %=W~'^. Insbesondere geht dabei Шг] mod 2ö über in o)^~'^-Шг}. Dieses ist daher ein minimaler ^-Modul aus W~^, also ein minimales Linksideal in Ш. Zu zeigen bleibt noch die Gleichung co^""^ .3t=3g^-i. Diese folgt nach Satz 6 aus den Gleichungen

Ш • (9{ mod l^_i) = Ж mod a,_2, a>- (2Smod5ï,_2) = Wmod'u,.^,

CD . (SS^-^mod^i) - Ж^-^mod^o, also a>'-^'m=^W-'^Kj4o=W-\ Q.e.d.

Schließhch sei noch bemerkt, daß, falls ш sich so wählen läßt, daß außer den in Hilfssatz 2 genannten Eigenschaften noch r'{r,k) = r für alle т^Ш in (17) gilt, œ sogar einen 3t-Isomorphismus zwischen den beiden 9l-Moduln ^e-k-i j^Q^ 5j^ ^^^ gng.-Ä jn^^ g{^_^ induziert.

Unter den Voraussetzungen des Satzes 6 lassen sich, wie die nachstehenden Untersuchungen zeigen werden, diejenigen Linksideale l, für die 8Î — I den Ring Ш distributiv und i^-linear darstellt, durch folgende Eigenschaften rakterisieren : i.lK^l, 2. für ein geeignetes maximales Rechtsideal r aus Ш ist I bezüglich der Forderung lo(0:r) = 0 nicht nur als Linksideal sondern sogar als co-Modul maximal. Hierbei ist со irgendeines derjenigen Elemente со, deren Existenz in Satz 6 bewiesen wurde.

1 . Ш-1 stelle Ш distributiv dar. Da 3t-I X-linear sein soll, ist ÏKÇI zu fordern. Femer ist nach Satz 4 das I als Linksideal maximal bezüglich Ir^(o:t) = 0, wobei sich das maximale Rechtsideal г^гШч^ЖЗ durch ein in l enthaltenes Idempotent e, welches in 91/2Ö zu dem maximalen Linksideal 9f{. i= Î führt, definieren läßt. Zu beweisen bleibt, daß jeder echte co-Obermodul p von I das Linksideal (0:t) nicht nur im Nullelement schneidet. Da jeder ce>-Modul ein C[û>]-Modul ist und die Algebra Ш über S endHchen Rang hat, ist klar, daß die Minimalbedingung für ot>-Moduln in 1Я erfüllt ist. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei daher p ein minimaler co-Obermodul von t und das Element жС:р, aber л^1. Sei k die kleinste natürliche Zahl für die л^1^\, aber я51^31^_1 gilt; diese existiert, da nach Voraussetzung л nicht in I=I^O=Iw9lo liegt, wohl aber in Ш=%. Aus %={^; Ш^ - q==o} folgt (18) l^^f, = lKjW-\

denn wegen Ш' = 0 ist W-''^^ klar und aus ol^^ folgt nach Hilfssatz}, (16), für den Ш distributiv darstellenden Modul m=9î —I die Beziehung атйШ~Ы, also afR^B^-^^mod Ï, also aÇSB'-^wï. Nach (18) liegt л in IwSB^""* und ist daher in der Form л=К+р darstellbar, wobei Л in I und das Elemente in 3®""^, aber nicht in äC^_i liegt, da sonst ж bereits in I^2l^^_i läge. Nach Satz 6 bildet ш den Modul W~^ mod Ш^^г umkehrbar eindeutig auf den Modul SB*--*+^ mod %-2 ^-b. Demnach repräsentiert, weil v nicht in