Wolfgang Krull

tionale existiert Damit sind die quadratisch abgeschlossenen eudoxischen Halbgruppen m den Gedankenkreis des 5 Buches Eukhds eingeordnet, m dem unter den allgemeinen Proportionen a b=:c d die ,,dreighedrigen", also die der Form a f=f b, eine ausgezeichnete Rolle spielen Allerdings kann zwar gezeigt werden, daß im 5 Buch stillschweigend von dem Axiom der Existenz der vierten Proportionalen Gebrauch gemacht wird, daß also dort m modemer Terminologie stillschweigend eudoxische Halbgruppen zugrunde gelegt werden Aber etwas gewagt ware wohl die Behauptung, m der Art wie im 5 Buch von Proportionen geredet wird, stecke imphzit das Axiom von der Existenz auch der dritten Proportionalen, es wurden also im 5 Buch nur quadratisch abgeschlossene eudoxische Halbgruppen betrachtet — Nimmt man diesen Bedenken entsprechend, nur die allgemeinen eudoxischen gruppen als eine axiomatisch festgelegte Klasse von archimedischen gruppen hm, so wird man fragen, ob es nicht wenigstens moghch sei, m deutiger Weise von einer behebig vorgegebenen eudoxischen Halbgruppe ^ zu einer kleinsten quadratisch abgeschlossenen #* überzugehen^) Am fachsten behandelt man dieses Problem dadurch, daß man <f wie bei Satz 11 durch Einführung einer Multiphkation im Sinne von §1 zu einem zu dem Automorphismenhalbkorper ® isomorphen reellen Halbkorper macht Denn aus Satz 8 b) folgt unmittelbar

Satzü Dte eudoxische Halbgruppe ê ist genau dann quadrahsch abge schlössen, wenn su durch Einführung emer Mulhphkahon гт Stnne von § 1 zu etnem ,,quadratwurzel-abgeschlossenen'' reellen Halbkorper wird, der fur 'jedes a auch eine Losung der Gleichung x^ = a enthalt

Nach Satz 11 kommt es nur noch darauf an zu zeigen, daß jeder reelle Halbkorper m eindeutiger Weise zu einem kleinsten quadratwurzel-abgeschlos- senen erweitert werden kann Indem man weiter einen behebigen reellen Halbkorper durch das isomorphe Bild der Menge aller positiven Zahlen eines passenden reellen Zahlkorpers ersetzt, verschiebt man die Frage weiter auf das Gebiet der reellen Zahlkorper, und dort lautet sie schheßhch, wie muhelos einzusehen Gibt es zu jedem reellen Zahlkorper Й einen bis auf Isomorphic über Ш eindeutig bestimmten kleinsten reellen Oberkörper Й*, der seinerseits reell quadratisch abgeschlossen ist, m dem Sinne, daß er selbst keinen reellen Oberkörper Й* vom Relativgrade 2 mehr besitzt ^ Daß aber diese letzte Frage zu bejahen ist, folgt aus den wohlbekannten Existenz- und Isomorphiesatzen der Algebra Kehrt man nun wieder zu den eudoxischen Halbgruppen zurück, so erhalt man abschließend

Satz 12 Zu jeder eudoxischen Halbgruppe ê gibt es eine bis auf Isomorphic über ê eindeutig bestimmte kleinste, quadratisch abgeschlossene eudoxische gruppe <f *

Es bleibt aber naturhch noch zu untersuchen, ob Satz 12 nicht einfacher und naturgemäßer m rem gruppentheoretisch-geometrischer Weise bewiesen

^ ) Das entsprechende Problem der Einbettung emer beliebig vorgegebenen schen Halbgruppe in eine kleinste eudoxische Oberhalbgruppe wurde von О Endler m [5] behandelt Es ist m gewissem Smne wesentlich schwieriger als das Problem des Textes