über die Hebbarkeit der Unstetigkeiten gewisser Abbildungen 171

( ÜA ) Ist MCX und besitzt jeder Punkt aus X eine Umgebung U, so daß

йглМ^и , so gilt M^Q. [Q.S) Ist MCX und besitzt jeder Punkt aus M eine Umgebung U, so daß

ür^Meo , so gilt мео.

Für reguläre Räume X kann hier natürhch U durch U ohne Verschärfung der Axiome ersetzt werden. (ÜA) folgt offenbar aus (Й.5). Dagegen folgt (Q.S) nicht aus (QA) — (ÜA), wie durch das Beispiel eines kompakten Haus- dorffschen Raumes belegt werden könnte. Einfachere Beispiele zeigen ferner, daß (ÜA) auch nicht aus (jQ.l) —(Û.3) folgt. - (Ü.S) ist z.B. erfüllt für das System der Lebesgueschen Nullmengen im Ä". Ferner ist (Q.S) erfüllt, wenn eine Menge NCX existiert, so daß Q mit der Potenzmenge von N identisch ist. Wie leicht zu sehen, ist (ß.4) z.B. dann erfüllt, wenn X ein Lindelöf- Raum ist, d.h. wenn gilt

( LA ) Jede offene Überdeckung von X enthält eine abzählbare Überdeckung. (Unter der Voraussetzung von (L.i) ist (ß.4) sogar mit Ur^M^Ü anstelle von Ür^M^Ü gültig.) Schheßlich ist (Q.S) auch erfüllt, wenn jede Teilmenge von X ein Lindelöf-Raum ist, d.h. wenn gilt

( L . 2 ) Jede offene Überdeckung einer beliebigen Menge MCX enthält eine zählbare Überdeckung. Offenbar ist (L.2) erfüllt, wenn X eine abzählbare Topologie hat.

Satz 7. Aus (ÜA) folgt: Für jedes %ÇX und jede Umgebung U von x ist

Beweis . Es genügt offenbar, die Behauptung für offene Umgebungen U zu beweisen. Man bestimme zunächst ^>0, so daß mit X^ aus (7.2)

Xir^U^Q

gilt . Wegen (ß.4) gibt es dann ein yÇZ, so daß gilt

( 9 . 1 ) V r^Xtr^U^Ü für jede Umgebung V von y.

Es ist dann y^Ü, weil sonst V = X—U eine abgeschlossene Umgebung von y wäre, für die (9.I) falsch ist. Aus (9.I) folgt gemäß Satz 2 y CG, und damit erhalten wir die Behauptung des Satzes.

Satz 8. Aus (Ü.S) folgt X-G^Q.

Beweis . Angenommen X — G^Q. Es gibt dann ein t>0, so daß

X , r . ( X - - G ) =X , - G^Q ,

und wegen (Ü.S) existiert ein %ÇX^ —G, so daß gilt

Ür^Xt — G^Ü für jede Umgebung U von x.

Wegen Satz 2 bedeutet das aber x^G im Widerspruch zur Auswahl von x.

Die erste Variante des Beispiels aus §6 zeigt, daß in Satz 8 nicht etwa

sogar G = X behauptet werden kann. — Die zweite Variante des Beispiels