Abzahlbar erkennbare gruppentheoretische Eigenschaften

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Dann gilt das

Lemma 2.3. Die Untergruppe U von G ist dann und nur dann ein Sub- normalteiler von G, wenn U für jede abzählbare Teilmenge X von G ein Sub- normalteiler von {U, X} ist.

Beweis . Es ist wohl bekannt, daß jeder Subnormalteiler U von G auch Subnormalteiler einer jeden U umfassenden Untergruppe von G ist.

Sei umgekehrt U Subnormalteiler einer jeden Untergruppe {U, X} von G mit abzählbarem X. Ist X abzählbar, so gibt es also endliche Normalketten von и nach [U, X}; und unter diesen eine kürzeste, deren Länge wir als Defekt d(X) von Û in {U,X} bezeichnen wollen. Wäre die Menge dieser Defekte d(X) [für abzählbares XÇG] nicht beschränkt, so gäbe es zu jeder positiven Zahl n ein abzählbares X(n)CG mit n<d[X(n)]. Die menge all dieser X(n) ist eine abzählbare Teilmenge X von G. Aus {U,X(n}}Ç{U,X} folgt n<d[X(n)]^d(X) für alle n; und dies ist ein Widerspruch. Also gibt es eine obere Schranke k aller Defekte D {X) für zählbares XÇG.

Wir definieren induktiv die folgende absteigende Untergruppenfolge K{i). Es sei K(0) = G und K(i+\) der kleinste, U enthaltende Normalteiler von K(i), d.h. K{i+\) = {U^^'^. Dann ist jedes K{j) ein U enthaltender normalteiler von G. Wäre U eine echte Untergruppe von K(k-{-\), so gäbe es ein nicht in U enthaltenes Element w in K{k+i). Aus K(k+i) = {U^^^^} folgt die Existenz einer endlichen Teilmenge E(i) von K(k) mit w£{U^^^^. Entsprechend konstruieren wir induktiv für i<j^k+\ endliche Teilmengen E(j) von K(k+i-j) mit E(j-\)Ç{U^^^^}. Aus der Endlichkeit von E(k+i) folgt nach Voraussetzung, daß U ein Subnormalteiler von {U, E(k+i)}=V ist. Wir definieren induktiv die Untergruppen V{i) von V durch die Regeln:

V ( 0 ) = V, V(i+i) ist der kleinste U enthaltende Normalteiler von V{i), so daß also V(i+i) = {U^^'^} ist.

Aus der Endlichkeit von E(k-}-\) und dem im ersten Teil des Beweises gewonnenen Resultat folgt d[E(k-}-i)]^k. Aus einem anderwärts nenen Resultat ergibt sich dann U=V(k); vgl. Baer [p. 403—405].

Als nächstes zeigen wir induktiv die Gültigkeit der Ungleichung

( i ) {U^^^+^-'^ÇV{i) für 0^^^^.

Die Gültigkeit von (0) ergibt sich aus

Haben wir schon {i) verifiziert [für ein i mit 0^i<k], so wird nach struktion der E(j)

E ( k~i ) Ç { U^^' - ^^ - '^ } QV ( i ) und also

womit der induktive Beweis von {i) vollendet ist.