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Karl Heinrich Hofmann

nach 3.3 erfüllt, da

Damit ist alles bewiesen.

3 . 5 . Sind ACBCC endlich erzeugte Untergruppen von H^(G,K), so gilt

Beweis . Da ip^ß (bzw. щс und щс) die zu der Inklusionsabbildung Wab''A->B {bzw. <Pbc:в->C\màxp^c:а-^C) adjungierten Abbildungen sind, folgt das Lemma aus

Wbc^Wab=Wac -

3 . 6 . Seien A, В und С wie in 3.5. Dann existieren Homomorphismen

4>ÄB' { G>B\tB ) - ^ { G , A\Q 9Bc'{GX\tc)-^{G,B\f^) <PAc'[GX^,fc)~^{G,A-,f^), die die Homomorphismen iPab^Wbc bzw. y)^c fortsetzen, und es gilt

<PabO ( Pbc = <Pac'

Beweis . Die Existenz der behaupteten Fortsetzungen folgt direkt aus 1.17, indem wir z.B. (Pab(^> ^) = {а>1РАвМ) setzen. Die letzte Behauptung folgt aus dieser Definition unter Beachtung von 3.5.

Wir erinnern an den Begriff des projektiven Limes:

3 . 7 . Es sei Щ eine gerichtete Menge, d.h. eine Menge mit einer Teilordnung <, so daß zu zwei Elementen A, B^% stets ein Element CÇSl mit Л<С und B<C existiert. Zu jedem А^Ш existiere eine topologische Gruppe G^ und zu zwei Elementen A, В^Ш mit A<B sei ein Homomorphismus (р^в von В auf А vorhanden. Gilt A<B<C, so sei stets <Pab'><Pbc = (Pac' Unter diesen Umständen heißt {GA,(pAв>Щ ein gerichtetes System topologischer Gruppen.

Aus 3.6 folgt jetzt sofort

3 . 8 . Ist G eine topologische Gruppe, % die Menge aller endhch erzeugten Untergruppen von H^{G,K) mit der Inklusion als Teilordnung, wird ferner G A = (G, A ", /^) gesetzt, so ist {G^ ,(Рав>Щ ein gerichtete System topologischer Gruppen.

3 . 9 . Es sei {G^, (Рав>Щ ein gerichtetes System topologischer Gruppen. Die Untergruppe des direkten ProduktsЯ{(;^:Л G«}, welche aus allen Elementen M Am besteht, die die Bedingung (Pab{^b) = ^a erfüllen, wenn immer A<B, ist eine abgeschlossene Untergruppe. Sie heißt der projektive Limes des gerichteten Systems und wird mit Hm G^ bezeichnet. Ist M eine Menge und ist für jedes А^Ш eine Abbildung f^\M-^G^ definiert, die für alle A<B die Beziehung /а = <Рав<'/в erfüllt, so bezeichnet lim/^ diejenige Abbildung von M in Hm G A, die einem л: Ç Ж das Element (/^ (x))Âm von lim G^ zuordnet.