Janko , Z

Math Zeitschr 79 422 — 424 (1962)

Endliche Gruppen mit lauter nilpotenten zweitmaximalen Untergruppen

Herrn Reinhold Baer zum 60 Geburtstag am 22 Juh 1962 gewidmet

Von ZVONIMIR jANKO

Das Ziel dieser Note ist eine Verallgemeinerung des klassischen Satzes von Iwasawa [4] und Schmidt [8] über die Auflösbarkeit endhcher Gruppen mit lauter mlpotenten maximalen Untergruppen Andere Verallgemeinerungen dieses Satzes stammen von Baer [1, S 124], Huppert [2, §7] und Sah [6]

Alle betrachteten Gruppen sind endlich Wir nennen eine Untergruppe H einer Gruppe G zweitmaximal, wenn es eine Untergruppe К gibt, so daß H maximal in К und К maximal m G ist Wenn wir über die zweitmaximalen Untergruppen einer Gruppe G eine Aussage machen, so soll stets verstanden sein, daß sie auch existieren, d h daß G weder eine zyklische Gruppe von Primzahlordnung noch G = i (Einheitsgruppe) ist

Satz Set G егпе endhche Gruppe mtt lauter mlpotenten zweitmaximalen Untergruppen Dann ist G auflösbar oder mit einer der folgenden Gruppen isomorph

a ) Die Ikosaedergruppe,

b ) Die spezielle lineare Gruppe SL(2, 5)

Ist die Ordnung von G durch mindestens vier verschiedene Primzahlen teilbar, so ist G selbst nilpotent Aus diesem Satz folgt sogleich

Korollar Die Gruppen ungerader Ordnung mit lauter mlpotenten maximalen Untergruppen sind auflösbar

Herrn Huppert danke ich herzlich fur seme Ratschlage bei der schrift dieser Note

Beweis des Satzes Sei G eine Gruppe mit lauter mlpotenten maximalen Untergruppen und N em maximaler Normalteiler von G Da alle maximalen Untergruppen von N (im Fall iV=t=l) nilpotent sind, so ist N nach einem Satz von Iwasawa [4, Satz 1] auflösbar Ist G/N eine zykhsche Gruppe von Primzahlordnung, so ist G auflösbar Sei also GjN eine nicht- abelsche einfache Gruppe Da alle zweitmaximalen Untergruppen von GjN nilpotent sind, so ist GjN nach einem Satz von Suzuki [7] isomorph mit der Ikosaedergruppe Wir nehmen an, daß ]Уф1 ist und beweisen, daß G mit SL(2, 5) isomorph ist