458

Helmut H. Schaefer:

Zum Beweis der Additivitätsaussagen über о-^/и(о) benötigen wir einen weiteren Hilfssatz, der eine SpeziaHsierung von [5, (7.2)] auf monotone Folgen ist und dessen (vereinfachten) Beweis wir zur BequemHchkeit des Lesers durchführen.

Hilfssatz 2. Es sei E ein lokalkonvexer Raum, К ein normaler (konvexer) Kegel in E (mit dem Scheitel 0) ; ist {% J eine (bezüglich der durch К induzierten Ordnungsstruktur) monotone schwach konvergente Folge, so konvergiert {x^ für die gegebene Topologie von E.

Beweis . Ohne Beschränkung der Allgemeinheit werde %„^%„+i (wÇAT) und limx^=0 für a [E, E') angenommen. Wäre nicht hm x^^O für die gegebene Topologie von E, so gäbe es eine offene, konvexe Nullumgebung U in E, die unendhch viele der x^ nicht enthält. Da К nach Voraussetzung normal ist 2), kann и so gewählt werden, daß aus y$ C/ stets y+K^U folgt; wegen x^-x^+^^K folgt dann x^^U [n^N). Nun ist wegen der Monotonie von

{ хЛ die Menge

C - и [x^ + K]

konvex , und Cr^U leer; nach dem Hahn-Banachschen Satz gibt es also eine abgeschlossene reelle Hyperebene H CE, die U und С trennt, was der schwachen Konvergenz x^->0 widerspricht.

Da ô-^jLt(ô) jedenfalls für die (X-Topologie auf ^(E) abzählbar additiv ist, folgt nach Hilfssatz 2 diese Eigenschaft für jede mit £ 0 £' (als Dual) verträghche ©-Topologie auf .^(jE:),_für die Jf normal ist. Ist dagegen %q eine beUebige ©-Topologie, für die Jf normal und schwach folgenvollständig ist, so schheßt man wie folgt: Für jede fallende Folge {0^} von Baire-Mengen in X mit ö= П 0^ ist {/^ (ÖJ} monoton fallend bezüghch der Ordnungsstruktur auf ЩЕ), deren positiver Kegel Jf ist; wegen der vorausgesetzten Normalität von JT ist der Dual von ^(E) für %q hneare HüUe von Linearformen mit auf Jr nicht negativem Realteil [5, (6.4)], also {fi{ô^)} schwache Cauchy-Folge für %Q. Es gilt daher fx{à^)-^PÇ:^{E) (schwach) und wegen 1л[о^)->1л(а) für die (T-Topologie folgt Р=^л(д). Anwendung von Hilfssatz 2 beendet den Beweis des Satzes.

Es bleibt noch das CoroUar zu beweisen. Wenn die Additivität von /г für die Topologie %, der einfachen Konvergenz feststeht, so folgt die tung des Corollars aus dem Satz von Banach-Steinhaus ([1], Chap. П1, §3, Th. 2 Cor.). Der Beweis ist nach dem Obigen auf folgenden Hilfssatz geführt :

Hilfssatz 3. Ist E ein tonnelierter Raum, /л ein Spektralmaß mit Werten in Ж{Е), so ist jr=={/i(/): /^0, 1еЩХ)} normal für jede (B-Topologie.

Beweis . Es bezeichne „^'' die Ordnungsrelation in ^(E), deren positiver Kegel Jf ist; d.h. r^S bedeute S-Т^Ж. Wie üblich setzen wir [S, Г] = {RÇ:^{E): S^R^T); die Normalität von Ж für %^ ist gleichwertig mit der Aussage, daß es ein Fundamentalsystem {U} von S^s-NuUumgebungen gibt, für das aus rçU und S6[0, Г] stets SÇU folgt. Sei Ш eine beliebige