Anzahl der Erzeugenden eines Ideals in einem Noetherschen Ring 81

Moduln , d.h. das Einselement des Rings wirkt auf den Modul als operator.

Ist A ein Ring, so bezeichnen wir mit X= Spec A sein Spektrum, das ist die Menge aller Frimideale von A. (Der Ring A selbst zählt nicht als Primideal.) In X sei die Zariski-Topologie eingeführt. In dieser Topologie ist eine menge FdX genau dann abgeschlossen, wenn es ein Ideal a с A gibt mit F= F(a), wobei

Па ) : = { рбХ : рза } .

Es ist V(A) = 0 und V(0)=X. Bezeichnet j/ä das Radikal eines Ideals a, so gilt ]/(|/ä) = V(d), Ist А Noethersch, so ist jede abgeschlossene Teilmenge von Spec A endliche Vereinigung von Mengen der Gestalt F(p), peSpec^. Mit Q(A) с Spec А sei die Menge aller maximalen Ideale von А bezeichnet.

Für jedes peSpec^ ist der Ring A^ definiert: Er besteht aus allen formalen Quotienten ajs mit aeA, seA\'p, mit den üblichen Verknüpfungsregeln. Zwei Quotienten ajs und a'js' sind genau dann zu identifizieren, wenn es ein s*eA\p gibt mit s*(as'-'a's) — 0. Vermöge der natürlichen Abbildung A-^A^, die а auf ajl abbildet (und die nicht immer injektiv ist), kann A^ als yl-Modul gefaßt werden. A^ ist ein Stellenring oder lokaler Ring, d.h. ein Ring mit genau einem maximalen Ideal, nämlich pA^.

Ist ein M ein Л-Modul, so sei М^: = М(^^а^р- ^v ist sowohl y4-Modul als auch ^p-Modul. Es sei K^(A):=AJpA^ und L^(M): = M^lpM^. L^{M) ist ein Vektorraum über dem Körper K^{A). Die natürlichen Abbildungen

ß^ : A-^K^{Ä); X^: M-^L^{M)

lassen sich in natürlicher Weise durch Homomorphismen

ß'^ : A^AIv\ ß;:Alv -^K,(A)

я ; : M->MlpM; X;: MlpM-^L^{M)

f aktorisieren : ß^=ß; о J?; ; A^=X; о Д;. Die Abbildung ß; ist injektiv und K^ (A) ist der Quotientenkörper von j8p(^/P)- Für ein maximales Ideal meQ{Ä) sind ß'^ und X^ bijektiv. Für Elemente aeA und feM setzen wir a{p):=:ß^(a)e K^{A) bzw.f(v): = X,(f)eL,{M).

Wir verwenden den KruUschen Dimensionsbegriff: Ein Primideal p von А heißt von der Dimension k, geschrieben dimp=fc, wenn es eine Primidealkette

P<Pi<P2< ••• <Vk<^

der Länge k, aber keine längere gibt. (a<b bedeutet acb und афЬ.) Die mension von А wird definiert durch

dim>4 : = sup dim p.

p Ç. Spec A

Es gilt

dim^= sup dimA^= sup dim^^.

рбЗресЛ meß(A)

Mathematische Zeitschrift. Bd. 84 6