Homomorphismen von (F)-Räumen

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Man kann (4) auch als einen Satz über die linearen stetigen Abbildungen der stark dualen Räume von (FM)-Räumen auffassen, da jede solche Abbildung В die Adjungierte A' einer stetigen Abbildung А von £* in F ist: ^ ist schwach stetig, ihre Adjungierte B' ist eine schwach stetige Abbildung A von (EJ^E in (Fy=F\md A ist dann auch stetig, da die Topologie von F bzw. F gleich der Mackeyschen Topologie ist.

Nach einem Ergebnis von Dieudonmé (vgl. Köthe, § 27, 2. (8)) ist ein lokalkonvexer Raum genau dann der stark duale Raum eines (FM)-Raumes, wenn er tonneliert ist und ein abzahlbares Fundamentalsystem vexer kompakter Mengen besitzt.

Aus der Äquivalenz von e) und g) in (4) ergibt sich damit folgende allgemeinerung des Satzes von Banach-Schauder.

( 5 ) E und F seien zwei tonnelierte Räume mit je einem abzählbaren Funda- mentalsystem absolutkonvexer kompakter Mengen. Eine stetige lineare bildung A von E in F ist dann und nur dann ein Homomorphismus, wenn A(E) folgenabgeschlossen ist,

Literatur

Grothendieck , A.: [i] Sur les espaces (F) et (DF). Summa Brasil. Math. 3, 57—123 (1954). — [2] Espaces vectoriels topologiques. Departamento de Matematica da Universidade de

Sâo Paulo 1954. Köthe, G.: Topologische lineare Räume I. Berlin-Göttingen-Heidelberg: Springer 1960.

69 Heidelberg, Institut für Angewandte Mathematik, Tiergartenstraße (Eingegangen am 20. Januar 1964)

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