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Heinz Lüneburg

Ist 04=Heifej so bezeichnen wir mit Г(Н, §) die Menge aller убГ(8, §), deren Zentrum m U hegt Aus Baer [7], Lemma 3, S 297 folgt, daß r(U, §) eine Untergruppe von r(jB, §) ist. Ferner setzen wir Г(0, §) = 1

Eine besonders wichtige Untergruppe von r(S, §) ist die Gruppe Г (§,§), die Gruppe aller Translationen mit der Achse § Die Translationsgruppe ist abelsch Darüber hinaus gilt sogar

( 1 . 3 ) Ist K^ gleich der Menge der Endomorphismen rj von Г(§, §), die die Eigenschaft haben, daß ГСП, ЬУйГ(и, §) ist fur alle U^ô, ^o ist K^ bezüglich der in der üblichen Weise definierten Addition und Multiplikation ein Korper Ist Рф§} und ist O+^ysÄ"^, so gibt es ein und nur ein уеГ(Р, §) mit т''=7~^ т у fur alle теГ(§, $) Ist umgekehrt уеГ{Р, §), so ist die durch т'' = у~^ т у finierte Abbildung rj ein von 0 verschiedenes Element von K^.

Г ( § , §) ist also em Rechtsvektorraum über K^, Ferner gilt

( 1 4) Die Untergruppe Л von Г(§, §) ist dann und nur dann ein linearer terraum des K^-Vektorraumes Г(о, §), wenn Л=Г(\Х, §) ist fur ein passendes

Fur den Beweis von (1.3) und (14) siehe den Beweis von Baer [7], Theorem 1, S 298

2 . Der Isomorphiesatz

Entscheidend fur unseren Beweis des Hauptsatzes ist der folgende

Satz 2.1. Zwei desarguessche projektive Räume S und S* vom Range großer oder gleich 3 sind genau dann isomorph, wenn es eine Hyperebene 9) in ^ und eine Hyp er ebene §* in S* gibt, so daß eine semilineare Abbildung des K^- Vektorraumes Г(§, §) auf den K^*-Vektorraum Г(§*, §*) existiert

Beweis , а sei ein Isomorphismus von S auf S * Ferner sei § eine ebene von S und §* = §cr das Bild von $ unter er Da (т em Isomorphismus ist, ist §* eine Hyperebene von S *. Nun ist (7"^ Г(§, §) сг = Г(§(7, §ог) = Г(о*,§*) und die durch y*^ =o-~^ 7 <j fur убГ(§, §) erklarte Abbildung a' ist ein morphismus von r(§, §) auf Г(§*, §*).

Der Isomorphismus а von Г(§, §) auf Г($*, §*) induziert bekanntlich einen Isomorphismus rf-^o'^ria' des Endomorphismenringes ЕГ(о, §) von Г(§, §) auf den Endomorphismenrmg ЕГ(5*, §*) von Г(§*, §*) Ist nun уеГ(§, $) und haben у und y'' das gleiche Zentrum, so haben auch y'' und y*""' das gleiche Zentrum. Daher induziert wegen y''^'=y'' '^ ^'^'^ der morphismus r]-^a'~^ Ц(т' von ЕГ(о, §) auf ЕГ(§*, §*) einen mus a" von i^^ m К^ш Da anderseits а einen Isomorphismus von Г{Р, §) auf Г{Р а, ô*) induziert, folgt aus (1 3), daß a" sogar ein Isomorphismus von K^ auf K^* ist. Hieraus und aus der Definition von g" folgt dann, daß (a', a") eine semihneare Abbildung des ^^-Vektorraumes Г(§, §) auf den Ä^*-Vektorraum Г(о*, §*) ist

Sei nun $ eine Hyperebene von 8 und §* eine Hyperebene von S* und ö- eine semihneare Abbildung des ^^-Vektorraumes Г(§, §) auf den K^*- Vektorraum Г(§*, §*). Die Abbildung er bildet dann die Menge der klassen nach den Unterraumen von Г(§, $) auf die Menge der Restklassen