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Otto H. Kegel:

Dies ist aber die Aussage von Satz 1, wobei die Primzahlmenge dort nur aus einer Primzahl besteht.

Durch Spezialisierung erhält man insbesondere

Folgerung 2. Die endliche Gruppe G ist genau dann nilpotent, wenn es In G nilpotente Untergruppen A, В, С mit G=AB^BC=CA gibt.

Diese Ergebnisse legen die Frage nahe: „Welche Eigenschaften ^ endUcher Gruppen haben die Eigentümlichkeit, daß die endliche Gruppe G (genau dann) die Eigenschaft ^ hat, wenn es Untergruppen A, B, С von G gibt, die die Eigenschaft^ haben und G = AB = BC=CA erfüllen?"

Kommutativität und Überauflösbarkeit haben diese Eigenschaft nicht; für die Kommutativität zeigen dies die nicht-abelschen Gruppen der Ordnung j?^, p eine Primzahl, und für die Überauflösbarkeit die nicht-überauflösbaren Gruppen, deren echte Untergruppen alle überauflösbar sind und deren nungen drei verschiedene Primteiler haben (vgl. Huppert [4]).

Aber auch die Überauflösbarkeit läßt sich durch eine ähnliche eigenschaft beschreiben.

Satz 2. Die endliche Gruppe G ist genau dann über auf lösbar, wenn es in G nilpotente Untergruppen A und В sowie eine überauflösbare Untergruppe С gibt, so daß G=AB=BC=CA gilt.

Beweis . Daß es in einer überauflösbaren Gruppe G solche Untergruppen gibt, ist klar: Man wähle A = G\ jB=NormaHsator eines Sylow-Systems und C=G.

Angenommen nun, der Satz sei falsch. Sei G ein Gegenbeispiel kleinster Ordnung, dann ist jedes echte homomorphe Büd von G überauflösbar.

a ) G hat einen einzigen minimalen Normalteiler Мф1, und M ist nicht zyklisch.

Gäbe es zwei verschiedene minimale Normalteiler N und M von G, so ließe sich G isomorph in die überauflösbare Gruppe Gl M x GjN einbetten. G wäre also überauflösbar, was nicht der Fall ist. — Wäre M zyklisch, so wäre G überauflösbar, was nicht der Fall ist.

b ) Ist P eine /i-Sylow-Gruppe von G für den größten Primteiler/? der Ordnung von G, dann gilt P=M=ApBp=BpCp = CpAp, und F=M ist elementar abelsch.

Da Cp ein Normalteiler der überauflösbaren Gruppe С ist, so ergibt Satz 1 (für n={p}), daß F=ApBp=Bp Cp = Cp Ap in G normal ist. Wäre nun die Frattini-Gruppe Ф(Р)Ф1, so wäre GI^{P) überauflösbar, und aus Baer ([/], Theorem 4.1) würde folgen, daß G doch überauflösbar ist. Also ist Ф(Р) = 1, und F ist elementar abelsch. — Wäre nun РФМ, so wäre MczP, also gäbe es nach dem Satz von Maschke in F ein unter G invariantes plement zu M, Die Existenz eines solchen Normalteilers widerspricht aber a).

c ) Es gilt Ap^l:^Bp und АрПВр=1.

Da die elementar abelschen Gruppen Ap und Bp im Zentrum der nilpotenten Gruppe А bzw. В Hegen, Hegt jedes Element von Ap n Bp im Zentrum von