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Reinhard Mennicken und Alfred Sattler:

4 . Beispiele zu den Entwicldiingssätzen

4 , 1 . Zu den verallgemeinerten Neumannschen und Kapteynschen Reihen

zweiter Art

Wir notieren zunächst einige im folgenden mehrfach benutzte Tatsachen über Produkte von konfluenten hypergeometrischen bzw. Whittakerschen Funktionen.

Für beliebiges komplexes a und л=0, 1, 2, ... bezeichne

( 1 )

( a ) „ =

Г { а + п ) Па) ■

Ferner sei an die Definition der verallgemeinerten hypergeometrischen tion

( 2 ) ^^(a„...,a,;c„...,c,;z)=l^^^^^^^^, puq + l

erinnert ; die Parameter öi, ..., a^, c^, ..., c^ seien so gewählt, daß die vergenz im betrachteten Gebiet gewährleistet ist.

Mit Hilfe des Cauchyschen Produktreihensatzes und der formeln

( 3 )

( a ) , _ , = ( - l ) *

( a ) r 1 =(_!)* ("'■)»

( 1 - a - r ) , ' (r-fc)! beweist man ohne Mühe die Relation

r\

( 4 )

r = 0 Wr"'

* 3^2 ( -~^^'» 1 —c —r;c', 1 —a —r;-----

( Man beachte den Druckfehler in [2], Bd. I, p. 187, Formel (13)). Für die konfluente hypergeometrische Funktion ist die Beziehung

e'~\F^ ( a ; c ; z ) = iFi(c-a;c; -z)

als Kummersche Transformation bekannt, woraus man mit (4) die Darstellung

( 5 )

e - %Fi ( a ; c ; z ) iFi ( a' ; c' ; z ) =^z''

{ с' ) гг\

* 2F2{—r,c — a,l — c' — r\c^l — a' — r;ï)

gewinnt , indem man die Exponentialfunktion in die erste konfluente geometrische Funktion hineinzieht. Faßt man sie demgegenüber mit der zweiten ^i^i-Funktion zusammen, so erhält man durch Vergleich dieser Dar-