Hinreichende Bedingungen bei Differential-Ungleichungen

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Diese Bedingungen bilden ein Randwertproblem für die Funktionen/? und P, welches aus einer (leicht lösbaren) linearen Differentialgleichung dritter Ordnung, einer Hnearen Differentialungleichung dritter Ordnung und gen linearen Randbedingungen besteht (Satz 4).

Wir erläutern die hinreichenden Bedingungen an Beispielen. Jedoch soll hier nicht versucht werden, für umfassendere Klassen von Randwertaufgaben (1.1), (1.2) systematisch Lösungen/7 und P des genannten Problems in Satz 4 zu konstruieren. Ein weiterer Aufsatz wird nämhch zeigen, wie man die Existenz solcher Lösungen oft indirekt nachweisen kann. Man kann gewisse hängende Klassen von Differentialgleichungen (1.1) betrachten, und es genügt dann, bestimmte Voraussetzungen nur für eine Gleichung der Klasse zuprüfen. Der folgende Aufsatz wird außerdem zeigen, daß die hinreichenden Bedingungen in gewissem Sinne auch notwendig für die schwächere schaft (1.5) sind.

Alle im vorliegenden Aufsatz vorkommenden Funktionen von x sollen auf [0, 1] analytisch sein.

Das Literaturverzeichnis in I ist durch einen Aufsatz von Levin [7] zu ergänzen, mit dem dieser seine bereits in I zitierte Arbeit fortsetzt.

2 . Hinreichende Bedingungen

2 . 1 . Übersicht. Ist eine Aufspaltung (1.3) mit Operatoren der Form (1.8) bis (1.11) gegeben und sind dafür die Voraussetzungen a und b (des Satzes 1) erfüllt, so gilt die Aussage (1.4) nach Satz I genau dann, wenn eine Funktion zeR existiert, welche den folgenden Ungleichungen genügt:

( 2 . 1 ) L[z](x)>0 (O^x^l),

( 2 . 2 ) z(x)^0, Li[z](x)^0 (O^x^l).

In den Abschnitten 2.2 und 2.3 ersetzen wir die Voraussetzungen a und b durch leichter nachprüfbare Voraussetzungen ö' und b'. Die Ergebnisse werden im Abschnitt 2.4 zusammengefaßt.

In I wird nur der Fall betrachtet, daß sich ß(x) als Produkt ß(x) = w(x) q{x) schreiben läßt. Diese nicht notwendige Voraussetzung machen wir hier nicht. Man kann als Voraussetzung a in (1,4.1) 0(^)^0 (O^x^l) anstelle von q{x)'^0 (O^xgl) fordern. (Formel- und Abschnittsnummern aus I werden hier durch eine vorgestellte I gekennzeichnet.)

2 . 2 . Hinreichende Bedingungen für Voraussetzung a. Bei gegebener maler Aufspaltung (1.8) bis (1.11) gilt Formel (1.3) mit

( 2 . 3 ) w = a/, ß = F-ac/,

wobei

( F = L2\_P'\=-apP"-^ap'F-^[_-{ap'y^bp-P']P

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