Popp , H.

Math . Zeitschr. 96, 111-124 (1967)

Über die Fundamentalgruppe einer punktierten Riemannschen Fläche bei Charakteristik p>0

Herbert Popp

Eingegangen am 1. November (1965)

Es sei K/k ein Funktionenkörper vom Transzendenzgrad 1 beliebiger Charakteristik. Der Grundkörper k sei algebraisch abgeschlossen. S= {qi, ..., q^} sei eine endliche Menge von verschiedenen Primstellen von K/k. Rs sei die Vereinigung - die Vereinigung ist im algebraischen Abschluß von К zu verstehen - aller separablen, algebraischen Erweiterungskörper E von K, die über К höchstens in den Stellen aus S verzweigt sind. (Яя ist in dieser zeichnung die maximal unverzweigte, separable, algebraische Erweiterung von К 0= leere Menge.) Uns interessiert die Struktur der Galoisgruppe Gg der Erweiterung fts/K

Gg ist das algebraische Analogon zur Fundamentalgruppe der in S ten abstrakten Riemannschen Fläche des Körpers K/k,

Ist к der komplexe Zahlkörper, und ist 91 die Riemannfläche des Körpers K/k, so ist die Gruppe Gg isomorph zur Komplettierung der Wegeklassen- gruppe n^ÇSi-S) der in S punktierten Riemannschen Fläche 91 bezügHch der Topologie, die von den Untergruppen mit endlichem Index definiert wird. (Deshalb bei beliebigem Funktionenkörper K/k die Bezeichnung gruppe für die Gruppe G^.)

Die Gruppe n^i^l-S) kennt man: Sei g das Geschlecht von K/k. Dann besitzt ni(9l--S) 2g+m Erzeugende s^, t^, ...,Sg, t^, u^, ..., w^ mit der gen Relation ^-^ t^SÏ^ tî^.^.S^tgSg^ Ç^ Wi...M^ = l.

Ist Charakteristik fc=0, so reduziert sich der Sachverhalt nach der ten Schlußweise von Lefschetz auf den Fall, daß der Grundkörper к der plexe Zahlkörper ist, so daß gilt: Ist K/k ein Funktionenkörper der stik Null mit algebraisch abgeschlossenem Konstantenkörper k, so ist die Gruppe Gg die selbe wie im Falle, daß к der komplexe Zahlkörper ist.

Im folgenden sei Gg^^ die abstrakte topologische Gruppe, die von 2g+m Elementen^-ij^i, ...,^g,fg, Wj, ,..,u„erzQugtmTdyWobdSitiSÎ^tï^...s^tgSg^ x Ç^Wi ...w^ = l die einzige Relation ist, der die Elemente s^^t^, .,.,u^ genügen. Die Topologie in Gg^„ wird durch die Untergruppen mit endlichem Index definiert, und Gg „, soll in dieser Topologie komplett sein. Es sei q eine zahl und G|^^ sei die abgeschlossene Untergruppe von Gg,^, die von den