Minimallösungen von Differenzengleichungen in Gruppen

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eine Minimallösung (Typ II) erzeugt. Dies a^ ist durch einen Kettenbruch gegeben :

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In [12] habe ich gezeigt, daß diese Überlegungen wesentlich verallgemeinert werden können. Man betrachtet zweckmäßig „Differenzengleichungen"

x „ + i=Ä „ x „ (n = 0,1,2,...)

in einer normierten abelschen Gruppe G mit gegebenen Endomorphismen A„. Legt man dann eine Zerlegung G = Gi + G2 als direkte Summe von gruppen zugrunde und fordert einige einfache Ungleichungen, so ergibt sich die Einteilung der Lösungen in die Typen I und II in voller Analogie zum oben angeführten Beispiel. Vgl. auch Abschnitt 1 unten.

In [12] habe ich zwei verschiedene konstruktive Beweise für die Existenz einer genügenden Zahl von Minimallösungen (Typ II) unter verschiedenen zusätzlichen Voraussetzungen gegeben: die Minimallösungen bilden dann eine Untergruppe L^ der Gruppe der Lösungen L und geben eine entsprechende Aufspaltung als direkte Summe: L=L^-\-Lii.

Ferner ist in [12] gezeigt worden, wie sich die Untersuchungen von Poincare [i], Perron [2 — 9] und Kreuser [70] über lineare Differenzengleichungen in die gegebene allgemeine Theorie einordnen, die ihrerseits für diesen kreis neue und recht einfache Beweise und Verallgemeinerungen gibt.

In der vorliegenden Note, die an [12] anschließt, wird der Kern der Theorie vereinfacht und verallgemeinert. Es wird eine einfache konstruktive Methode zur Bestimmung der Minimallösungen entwickelt, die wesentlich schwächere Voraussetzungen erfordert. Diese Methode stellt eine Verallgemeinerung der oben angeführten Kettenbruchmethode dar.

Mit dieser Methode lassen sich nunmehr viele Untersuchungen der reinen und angewandten Mathematik, die Minimallösungen von chungen benutzen, einschließlich numerischer Berechnungen, ganz in derselben Weise durchführen wie im Falle der dreigliedrigen Rekursionen und der tenbrüche.

1 . Grundlagen

G sei eine abelsche Gruppe und direkte Summe G=G^ + G^ zweier gruppen; entsprechend wird die Zerlegung der Elemente x = x^+x^, y=y^ + J^, ... notiert.

Für xeG^ oder xeG^ sei eine Norm \x\ mit

( 1 ) Ixl^O, |x|=0.^x = 0, |-x| = |x|, \х + уШх\ + \у\

erklärt . (Mit der Definition |x| =max(|x^ U U^ I) wird dann auch G normierte abelsche Gruppe. Diese Bemerkung vereinfacht manche Überlegungen in [12]. - Diese Definition wird jedoch im folgenden nicht benötigt.)