über Blockpläne mit transitiver Dilatationsgruppe

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Parallelismus , also eine Äquivalenzrelation || zwischen den Blöcken, die das Euklidische Parallelenaxiom erfüllt:

( E ) Ist P ein Punkt und В ein Block, so existiert genau ein Block C, der mit P inzidiert und für den С \\ В gilt.

Im Gegensatz zum Fall des affinen Raumes ist hier allerdings die Gruppe der Translationen nicht notwendig abelsch, wofür wir später ebenfalls Beispiele geben. Es fällt auf, daß in den angeführten Fällen keine nicht-regulären tionen existieren. So erhebt sich die (hier nicht beantwortete) Frage, ob deren Existenz erzwingt, daß die Translationsgruppe abelsch ist.

Setzen wir auch die Kommutativität der Translationsgruppe voraus, so gilt: Die Punkte von Ф entsprechen den Punkten einer affinen Geometrie AG(d, q), die Blöcke von ^ gewissen /-dimensionalen Unterräumen. Letztere bestimmen in der uneigentlichen Hyperebene eine taktische Konfiguration; dabei heißt eine Inzidenzstruktur X taktische Konfiguration, wenn jeder Punkt mit r* Blöcken und jeder Block mit k* Punkten inzidiert. Umgekehrt kann man zu jeder taktischen Konfiguration, die aus sämtlichen Punkten und gewissen (/— l)-dimensionalen Unterräumen einer PG(d— 1, q) besteht, einen Blockplan mit transitiver abelscher Translationsgruppe konstruieren.

An dieser Stelle möchte ich Herrn Dr. Lüneburg für sein reges Interesse und seine volle Unterstützung herzlich danken.

1 . Definitionen und vorläufige Resultate

Eine endliche Inzidenzstruktur heißt Blockplan, wenn es positive ganze Zahlen k, r, X gibt mit den Eigenschaften :

( i ) Jeder Block inzidiert mit genau к Punkten.

( ii ) Jeder Punkt inzidiert mit genau r Blöcken.

( iii ) Mit zwei verschiedenen Punkten inzidieren genau X Blöcke.

Für die Parameter eines Blockplanes ® gelten folgende Gleichungen (vgl. Ryser [75], p. 97 oder Pickert [7i], p. 288):

( 1 . 1 ) rv=^bk,

( 1 . 2 ) Â(î;-l) = r(fc-l).

Hierbei bezeichnet v die Anzahl aller Punkte, Ь die Anzahl aller Blöcke von ©. Übrigens folgt (ii) aus (i), (iii), wenn r gemäß (1.1), (1.2) bestimmt wird.

Weiter sei ^ die Menge aller Punkte von ®, \B\ die Menge der mit В dierenden Punkte, statt [^]n[C] schreiben wir kürzer Bc\C.

Um bei unseren Betrachtungen triviale Fälle auszuschließen, fordern wir zusätzHch :

( 1 . 3 ) k-\-l^v und\Br\C I ^k-lfür alle Blöcke В und С aus 93 mit B^C.

Ein Automorphismus cp von © heißt zentral, wenn es einen Punkt P gibt derart, daß B'^^B für alle mit P inzidierenden Blöcke^ gilt; P heißt das