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R . - H . Schulz:

Zentrum von (p. Dual dazu nennen wir einen Automorphismus i/^ axial, wenn i^ einen Block С punktweise festläßt. С bezeichnen wir als Achse. Ein nicht- aler Automorphismus hat höchstens ein Zentrum (s. Dembowski [6], p. 134), doch eventuell mehrere Achsen. Hat eine Dilatation Ф1 einen Fixpunkt, so ist dieser Zentrum.

Unter einem affinen Blockplan versteht man einen Blockplan, der einen ParalleUsmus mit folgender Eigenschaft besitzt: Je zwei nicht parallele Blöcke haben gleichviele gemeinsame Punkte.

( 1 . 4 ) Für jeden Blockplan mit Parallelismus gilt: b^v + r-l^und Gleichheit herrscht genau dann, wenn der Blockplan affin ist {s. BosE [4]).

In einem Blockplan mit ParalleUsmus bestehen alle Parallelenscharen aus genau m Blöcken, wobei v=km und b=rm ist.

Zu einem gegebenen Blockplan ®, für den i;=è gilt, (projektiver Blockplan), kann man neue Blockpläne S^ konstruieren: Punkte von 93^ seien alle nicht auf dem Block В liegenden Punkte von S, Blöcke alle Blöcke von » außer B; die Inzidenz in 9?^ sei durch die Inzidenz in © erklärt. Ein Blockplan 21 heißt einbettbar, wenn ein projektiver Blockplan © existiert derart, daß 21 = 93^ für einen geeigneten Block von S gilt.

( 1 . 5 ) Die Dilatationen eines einbettbaren Blockplans bilden eine Gruppe, jektive Blockpläne lassen keine nicht-trivialen Dilatationen zu

( s . etwa Dembowski [6], p. 140 und p. 143).

Injedem Blockplan können wir die Verbindungsgerade zweier verschiedener Punkte P und Q definieren als PQ = {X\Xe%XIB für alle Blöcke Б mit P, QIB}, Für Verbindungsgeraden gilt:

( 1 . 6 ) X,YePQ, X+Y impliziert PQ=^XY, Aus PQn[B]+PQ folgt \PQn[B]\SL

2 . Dilatationen und Dilatationsgruppen

Bevor wir an Beispielen zeigen, daß die Menge der Dilatationen nicht immer eine Gruppe bildet, geben wir einige notwendige Bedingungen dafür an, daß eine spezielle Menge von Dilatationen eine Gruppe ist.*

( 2 . 1 ) Es sei ü eine Dilatation eines Blockplanes 95. Hat dann <т* Ф1 keinen punkt außer evtl dem Zentrum von a, dann ist a^ ebenfalls eine Dilatation,

Beweis , Ist X^Z, Z Zentrum von a, falls vorhanden, dann ist XX"" gerade und damit XX^^XX""'; denn X^X""' gilt nach Voraussetzung. Wir erhalten also X^'eXX'"', Nach Definition der Geraden ist somit X'^IB für alle В mit X,X'''1B, Mit (D) folgt Ä=J5'' aus X,X''1B, Daher ist B = B*'^ falls X, X'^'IB, BIZ impliziert ebenfalls 5=5*'. Also ist (D) auch für a' erfüllt.

Eine unmittelbare Folgerung aus (2.1) ist (2.2):

( 2 . 2 ) Ist G eine Dilatation von Primzahlordnung, so ist <(т> eine Gruppe von Dilatationen,