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R . - Ы . Schulz:

Abbildung g* durch: x^*=xg, so ist g* eine eineindeutige Abbildung der Punkte auf sich und durch {VxY*= Vxg auch der Blöcke auf sich; g* ist inzi- denzerhaltend und im Falle g#l fixpunktfrei. Sind x und x^* Punkte auf B= Vx, so gilt wegen x^*=xgeVx auch Vx= Vxg, somit B=B^\ Damit ist (D) erfüllt, g* eine Translation. Die Gruppe T = G* = {g* | geG} ist außerdem sitiv auf den Punkten. Natürlich ist G* = G und G*= F* für alle Vea. Sei nun wieder 93 ein behebiger Blockplan mit transitiver Translationsgruppe T. Wir haben weiter oben bereits eine eineindeutige Zuordnung zwischen den Punkten von S und denen von S (T, a), zwischen den Blöcken von 95 durch E und denen von 93 (T, g) durch 1 gefunden. Letztere dehnen wir folgendermaßen auf alle Blöcke aus: Ein beliebiger Block С aus © ist nach (4.2) und wegen der schaft (E) parallel zu genau einem Block В durch E\ es gilt also für jedes RIC die Beziehung B^^ = C, Wählt man ein behebiges i? 1С fest, so sei С dem Block Tß • T|j zugeordnet. Wir wissen schon, daß die Zuordnung unabhängig von dem speziellen R ist; sie ist auch umkehrbar: aus T^ х^—Т^ Tg folgt T^ т^ '^5 ^ =Tp, daraus wegen leT^nT^ und (42)Tb=Tj) und т^^т^^еТ^, d.h. B^^ = D^^. Weiter bleibt die Inzidenz erhalten. Ist PIC, dann entspricht ja С laut tion Tß Zp für ein bestimmtes B, Somit haben wir gezeigt, daß S^93(T, a) mit (7 = {Tß|5 Block durch E) gilt.

Ist Tt eine Partition einer Gruppe G, so nennen wir eine Untergruppe V von G n-zulässig, falls Un V= 1 oder Un V= U ist für alle Komponenten U von n.

KoroUar 1. Zu einer nicht-trivialen Quasipartition a einer Gruppe G existiert eine nicht-triviale Partition von G derart, daß die Komponenten von g n-zulässige Untergruppen sind.

Beweis , Nach Satz 1 ist G isomorph zur Translationsgruppe von ® (G, g), und es genügt, diese zu betrachten. Den Komponenten von g entsprechen dann den Standuntergruppen der Blöcke В durch den Punkt 1. Aus (4.4) folgt, daß die Standuntergruppen der Geraden t^ durch 1 eine Partition n der Gruppe induzieren. Hat eine Komponente Gß von g ein Element тФ1 mit einem С,ея gemeinsam, dann liegt die Gerade t=\V in. В und alle Translationen, die sie festlassen, lassen gleichzeitig В fest (Eigenschaft D). Damit ist Gß 7i-zulässig, was zu zeigen war.

Um weitere Folgerungen herleiten zu können, wollen wir als nächstes suchen, welche Darstellung zentrale Dilatationen in Ъ (G, g) haben.

( 4 . 5 ) Sei G eine Gruppe, g eine Quasipartition von G, Genau dann besitzt ©(G, 0-) eine nicht-triviale zentrale Dilatation, wenn ein aeAut G mit V^=V für alle Veg existiert, (Einen solchen Automorphismus nennen wir erhaltend.)

Beweis . Sei a Dilatation in ©(G, g) mit Zentrum P. Dann existiert ein geG mit P^*=l; somit hat g*"^ ag* Zentrum 1. Sei also o.B.d.A. das Zentrum von a gleich 1. Die Blöcke durch 1 bleiben fix, also ist V'^=V für alle Veg, Sei geG; dann gilt: