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К . Матшак:

Hilfssatz 6. Zu jeder Homomorphismenbasis gibt es einen Homomorphismus der projektiven Ebene E auf eine projektive Ebene E\ der die gleiche einteilung der Punkte der Ebene E induziert.

Beweis . Die Homomorphismenbasis induziert eine Klasseneinteilung der Punkte. Die entsprechende Klasseneinteilung der Geraden wird maßen definiert: Zwei Geraden heißen äquivalent, wenn es zu jedem Punkt einer Geraden einen äquivalenten Punkt auf der anderen Geraden gibt. Die Klassen äquivalenter Punkte der Ebene E seien die Punkte einer Ebene E\ die Klassen äquivalenter Geraden die Geraden von E\

Die Klasse Ä soll per definitionem mit der Klasse а inzidieren, wenn es in А einen Punkt А und in ä eine Gerade а gibt, die miteinander inzidieren.

Für E' sind die Axiome einer projektiven Ebene nachzuweisen. keit bereitet nur die Eindeutigkeit der Verbindungsgeraden. Es seien Ä und В zwei verschiedene Punkte von £", die mit den Geraden а und Ь inzidieren. Es ist dann a = b zu zeigen, oder, wenn aeâ und beb, daß a^b ist.

Nach der Definition der Inzidenz folgt aus Älä, daß es einen Punkt AqeA und eine Gerade aQea mit AqIuq. Weil a^a^ ist, gibt es auf a einen Punkt A^ der zuji^ äquivalent ist, der also in Ä Hegt. Entsprechend gibt es einen Punkt BeB, der mit a inzidiert, und Punkte A'eÄ und B'eB, die mit b inzidieren.

Da Ä und В verschiedene Klassen sind, muß der Schnittpunkt von а und b zu einem der Punkte А und Д etwa zu Д nicht äquivalent sein. Ohne schränkung der Allgemeinheit kann man dann annehmen, daß А der punkt von а und b ist. Für den Nachweis der Äquivalenz von а und b genügt es aus Symmetriegründen zu zeigen, daß jeder Punkt H auf b einen äquivalenten auf a besitzt.

Es bleibt daher zu beweisen: Ы A^B^B' und H ein Punkt auf AB\ so gibt es einen zu Я äquivalenten Punkt auf AB, Nach Hilfssatz 5 existiert eine äquivalente Homomorphismenbasis S(^, ДС). Es ist dann H^=B'^^B, Aus Hilfssatz 1 folgt dann H^^^A oder Hc^B. Im ersten Fall ist H^H^ im zweiten H^B,

Weil nach der Definition der Inzidenz in E' aus Ala folgt Л1а, ist die kanonische Abbildung A-^Ä.a-^a ein Homomorphismus von E auf E\

Satz 2. Es sei eine desarguessche projektive Ebene, Auf der Geraden а von E sei eine Klasseneinteilung der Punkte gegeben, die

a ) abgeschlossen ist und

b ) mindestens drei Klassen enthält.

Dann gibt es einen Homomorphismus der Ebene E auf eine Ebene E\ der auf а die vorgegebene Klasseneinteilung der Punkte induziert.

Beweis , A, В und D seien drei paarweise nicht äquivalente Punkte auf a, С ein Punkt der nicht auf а hegt, P ein Punkt auf CD, der verschieden von С und D ist.