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H . Maurer:

Wie bereits demonstriert, ist die Abbildung cp' durch ß eindeutig bestimmt. Ist nun ^ eine KoUineation von W auf W, deren Restriktion auf S gleich ß ist, so ist Ф auch eine Fortsetzung der Abbildung ç'. Insbesondere ist C\l/ = C(p\ wenn С der Unterraum ist, auf den die Definition der Abbildung т Bezug nimmt, und </^lc=Ç>lc- Daher existiert eine semilineare Abbildung ц' von W auf W\ welche ^ induziert und deren Restriktion auf С gleich а ist. dere ist Ô der zu ß' gehörende Körperisomorphismus von К auf K' und {Kw) ç' = K'wß' für alle w^ V. Ist nun 0#c6Cund ve F, so folgt K'(c+v) fi'=K'(c+v) /л und = cji'. Diese Bedingungen implizieren vii=vii' iüv alle veV, Die linearen Abbildungen ц und ^' sind gleich, folglich sind es auch die KoUinea- tionen (p und \l/.

Damit ist der Fundamentalsatz 5.2.1 der Laguerre-Geometrie bewiesen.

Folgerung 5.2.4. Ist ß ein Automorphismus der Laguerre-Geometrie L (Ж, V, ф), so existiert genau eine Kollineation ç von W auf sich, die ß induziert, cp bildet V auf sich ab.

§ 6. Die Automorphismengruppe der Laguerre-Geometrie L{W^ F, Щ

Es sei L{W, V, ф) eine gemäß 3.1 definierte Laguerre-Geometrie mit КфО. £ sei die Menge der komplementären Unterräume von V in W.

Die Automorphismengruppe I von L{W, V, ф) ist nach 5.2.4 isomorph zur Gruppe H aller KoUineationen von W auf sich, welche V und ф invariant lassen. Die Abbildungen aus I heißen auch Zykelverwandtschaften. Im den sollen einige Untersuchungen zur Struktur der Gruppe I vorgenommen werden.

6 . 1 . Zykelspiegelungen und die von ihnen erzeugte Gruppe

Hat der dem Vektorraum W zugrunde liegende Körper К eine von 2 schiedene Charakteristik und ist CeG, so sei a(C) die folgende lineare dung von PF auf sich: Für t;e Fsei vol{C)=^v, für xeC sei xa(C)= —x. Es ist С das einzige Element aus (£, das von der Involution a(C) festgelassen wird. А bezeichne die Menge aller Abbildungen a(C) mit CeG.

Lemma 6.1.1. Das Produkt dreier Involutionen aus А liegt in A, also A^^A. Die Menge A^ der Abbildungen, die als Produkt zweier Abbildungen aus А schreibbar sind, ist eine abelsche Gruppe, die auf der Menge G scharf transitiv operiert. Die Gruppe A^ ist isomorph der cartesischen Summe von n+\ plaren der additiven Gruppe V^ des Vektorraums V. Dabei ist n die (nicht wendig endliche) Dimension von L{W, V, Щ.

Beweis . Für aeA gilt Fa= V. Daher induziert a eine lineare Abbildung von WIV, wenn man (w+F)a—wa+F setzt. Für die von a in WIV induzierte hneare Transformation gilt (w+ F) a= - w+ F, d.h. jede Abbildung a aus A induziert in WjV um Abbildung -1.

Sind nun «1, a2, аз aus A, so induziert das Produkt a^oCiOc^^ß ebenfalls die lineare Abbildung -1 in WIV. Es gilt daher w6+ F= - w+ F für alle н^е PF.