Möbius - und Laguerre-Geometrien über schwach konvexen Semiflächen 383

Hieraus folgt w+wß = veVund w-\-wß = v=vß=wß + wß^, also wß^ = w, ß ist also eine involutorische lineare Abbildung von W. Nun ist W=A@B, wo A=={weW\wß==w} und B={wGW\wß=-w]. Ist aeA, so folgt a= 2~^{a + aß)EVm\aA^V. Da natürlich auch V^A gilt, folgt V=A und БеС. Daher ist ß eine Involution aus А und А^яА, Da jede Abbildung ae^l involu- torisch ist, gilt 0L = a^eA^ und A^ = A,

( * ) S/Viöf Ci, C2 aus e, ^0 existiert eine Involution осе А mit Cj a = C2.

Sei Ti bzw. T2 die Projektion von W auf Ci bzw. С2 mit dem Kern F. Tf (/= 1, 2) ist also die lineare Abbildung, die die Identität auf C^ und den homomorphismus auf F induziert. Die Projektionen Tj , T2 bewirken im raum WIV die Identität, also ist T1+T2 eine lineare Abbildung, die in WjV die Abbildung 2 induziert, d.h. es ist

( w + F ) ( ti + T2) = w(ti + T2)+F=2w+F=2(h'+F).

Ist insbesondere w kein Element aus F, so ist w(ti +T2)^F. Daher ist

VnW ( Ti + T2 ) = 0

und da Tj +T2 in PF/F die Abbildung 2 induziert, ist FF(ti +12)= С ein plement von F, also CeC Sei a = a(C).

Für c^eC^ ist CiT2 = C2 ein Element aus С2 und C1-C2 ein Element F. Wegen Ci=CiTi ist

Ci + C2eFr(Ti+T2) = C und

Cia = 2-4ci + C2)a + 2"4ci-C2)a=-2"4ci + C2) + 2~4ci-C2)=-C2

also CiacC2. Nun ist а als Involution eine bijektive Hneare Abbildung und folglich Ci а ein Komplement von F. Dies bewirkt Cj а = C2 und (*) ist bewiesen. Wir betrachten jetzt das Komplexprodukt A^' = A • A={oca'\a, a'eA}. Da, A^ = A gilt, ist A^' eine Gruppe, die wegen

( ai а2)(аз a4) = (ai (X2 cc^) 0С4={а^ cc2 ai)a4 = (a3 cc^){cc^ (X2) abelsch ist.

Sind Ci, C2 aus С und ist a = a(Ci) iiiid a' eine nach (*) existierende dung aus А mit Cia' = C2, so ist Ciaa' = C2, d.h. die Gruppe A^ operiert transitiv auf der Menge C. Als abelsche Gruppe operiert sie dann auch scharf transitiv. Ist ß eine Abbildung aus A^, so gilt ß\v=l und wß-weVtm alle weW, Letzteres kann auch so ausgedrückt werden: ß induziert in WjV die Identität oder W(ß-l)^ F.

Ist umgekehrt ß eine bijektive Abbildung von W auf sich, die linear ist und die Bedingungen

{ * * ) ß\v=lundW { ß - l ) ^V