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E . Thoma :

/ s /ч Ш ist eine Algebra stetiger Funktionen, die mit jeder Funktion wegen <4:-i = ûfjj^ auch die konjugiert komplexe enthält. Ш enthält die Konstanten, da d^^^ = 1 ist. m trennt die Punkte von E(G, У1о), da aus a^, 0C2eE(G, У1а) mit Е^Х^к) = ord К (x^iK)=F^^idK) = ord К' a2(K) für alle KeR folgt ai=a2. Nach dem Satz von Stone-Weierstraß liegt also Ш dicht in C(E{G, 91g)).

C { E ( G\ 9l(j')) ist ein abgeschlossener Teilraum von B(E(G\ ЭТ^О)- Also ist T~\C{E(G\ Шод)) ein abgeschlossener Teilraum vonC(£'(G, 91g)). Falls wir zeigen können, daß mczT-^(C{E(G', Шо'Ш so folgt hieraus

T - \CiEiG\ 9lod)) = C{E(G, 9to)). Es ist aber

iTZ ) iß ) =id^iy ) dliHPy ( dK ) dfiß = jordK^y(K)dfiß

AT^ о.^ч Jo für K^GO

= ^^^^'^(^> = lordX.^(X)fürKeGJ-

Also ist Td^eC{E{G',yiG)) und damit ГЖ«с C(£(G', «g)). Damit ist C{E{G, 9lG)) = T-'iCiE{G\ Под)) gezeigt.

Wir zeigen nun, daß T:C{E{G, ^g))-^C{E{G\ Ш^^)) surjektiv ist, obwohl wir dies im folgenden nicht brauchen. Ist/'eC(£:(G', Шс^)), so istf=foA aus C(E(G, 91g)) und (Tf) (ß) = |/(r) duß. Da nach Lemma 2 Tr ^^ in ^ " ^ (ß) hegt, ist/(y)=/4^(?))=/'(jß) für alle yeTr а^д, also lf(y)dtiß= if(ß)dfiß=r(ß). Also ist r/=/'.

Ist / ^0 , so ist offensichtlich Г/'^О. Wir zeigen nun: Ist/^0 und/(y)>0 für ein yeTtfiß mit ßeE{G\ «gO, so ist (7/) {ß)>0. Dies ist richtig, da (Tf) (ß) =J/(y) dfiß>0, da/stetig und yeTr/i^.

Satz 1. Es sei G eine Gruppe und ^Iq eine Gruppe von Automorphismen oder Antiautomorphismen von G, die alle inneren Automorphismen enthält. Ferner habe yio endliche Bahnen in G. Dann gilt für die Zerlegung

areg= J ßdfireg

E ( G , 91g )

des regulären Charakters

, , [0 für x + e\ ^rn(^^-\imTx^e]' ' daß TTfireg=^E(G, 91g) ist.

Wir führen den Beweis in mehreren Schritten.

1 . Schritt. G sei abelsch und 91g enthalte nur die Identität. Dann ist E(G, ^Iq) = E(G). Ist (xeE(GX so ist S^:ß-^aß eine Homöomorphie von E(G) auf sich, da E(G) auf sich, da E(G) die duale Gruppe von G ist (vgl. [2]). Dann gilt

J (S, ß)(x) d^reg=J OL(x)ß(x) dfi,,,(ß) = a(x) I ß(x) dß,,^(ß) = a(x) a^egW

= aregW = JjS(x)d/l,eg(iß).

Wegen der Eindeutigkeit der Zerlegung ist also ^reg invariant gegenüber S^^ für alle aeE(G). Es sei nun M=E(G)-TTfi,^^. Dann gilt S^McMfür alle (xeE(G).