392 R. Schneider:

mit Vf^G^^fifj, Wegen der äquiaffinen Isometrie der betrachteten Flächen

folgt aus (2.23), (2.28) und aus dem Verschwinden der Pickschen Invariante

der Quadrik F

( 4 . 8 ) H-H=J^O

( wobei 0<H=const ist). Daher ist

( 49 ) IVfdQ ^ IVfdQ IVgdQ

wo bei der Bildung des Infimums alle auf Л erklärten stetig differenzierbaren Funktionen g mit

Jgdß=0

( zu denen wegen (4.6) auch / gehört) zugelassen sind. Das EUipsoid F mit seiner äquiaffinen Metrik ist isometrisch zur n-dimensionalen eukUdischen Sphäre vom Radius Я"^; daher ist das in (4.9) rechts stehende Infimum nach bekannten Extremaleigenschaften von Eigenwerten^^ gerade gleich dem sten nicht verschwindenden Eigenwert der Differentialgleichung

Au + XHu=Q

auf der genannten Sphäre, also_gleich n. In (4.9) muß also überall das heitszeichen stehen; daher ist H=^H, wegen /=0 ist also die Eiflache F falls ein EUipsoid. Q.e.d.

Ein Gegenstück zu Satz 4.6 für berandete Flächen ist der folgende Satz:

Satz 4.7. F={Jiy X, y) undF={M, x, y) seien elliptisch gekrümmte, äquiaffin normalisierte, berandete Flächen der Klasse C^ ims/„+i.F sei Teil einer Quadrik. Gilt auf Ji überall _

so ist auch F Teil einer Quadrik, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:

( a ) Die Ränder von F und F sind Schattengrenzen bei Parallelbeleuchtung; F ist konvex.

( b ) Die Ränder von F und F sind Schattengrenzen bei Zentralbeleuchtung; F ist schwach gekrümmt.

Beweis . Zunächst sei die Bedingung (a) erfüllt. Da F und F konvex sind und da die Ränder Schattengrenzen bei Parallelbeleuchtung sind, gibt es stante Vektoren e, ë, so daß für die Funktionen/=<X, e> und/ = <X, e> gilt:

/ = / =0 mîdJ^

^^'^^^ //Ф0 auf^.

Die Greensche Formel ergibt daher

l ( fAf^fAf ) dQ=^ J v'{ff-ffi)dœ = 0.

13 Siehe z.B. Courant-Hilbert Щ, Kap. VI.