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G Scheja und U Storch

woraus sich zunächst

und dann die gewünschte Ungleichung ergibt, da ja /Xi(m)=( j+bifÄ), I.L{D) = fi{m) = n und nach (4 2) außerdem МО)й^ЛЮ gilt

5 . Algebraische Abhängigkeit bei differentieller Abhängigkeit

Es sei R eine analytische Algebra über dem Korper к der Charakteristik 0 In [6] wurde mit Hilfe einer Methode von Mumford bewiesen Ist das wxj^- primare Ideal а in R J-abhangig vom Ideal b in R, dann ist а ganz-algebraisch über b Boger hat (s [6]) eine Beweisvariante beigesteuert, die theorie benutzt, und uns dazu angeregt, diese Variante zu verallgemeinern

( 5 . 1 ) Satz. Es sei R eine analytische Algebra über dem Korper к der teristik 0 Es seien а und Ь Ideale in R а sei d-abhangig von b Dann ist а ganz- algebraisch über b

Beweis Die in [6] zusammengestellten Hilfssatze über ganz-algebraische Abhängigkeit bei Idealen in lokalen Ringen seien im folgenden als bekannt vorausgesetzt

Da sich die ganz-algebraische Abhängigkeit von Idealen trivialerweise auf die Restklassenideale in Restklassenrmgen übertragt und da die J-Abhangig- keit von Idealen aus Restklassenrmgen zurückgenommen werden kann (2 1) können wir von nun an voraussetzen, daß R nullteilerfrei und ganz-abgeschlossen ist (Man kann sogar voraussetzen, daß R regular ist Das erleichtert den genden Beweisgang jedoch nicht) Mit В bezeichnen wir den Korper der Bruche von R Nach einem bekannten Satz ist а genau dann ganz-algebraisch über b, wenn fur jeden R umfassenden diskreten Bewertungsring F von В gilt aV^hV (Siehe z В das Lehrbuch [10], App 4 )

Es sei V em vorgegebener R umfassender diskreter Bewertungsring von В T bezeichne die Komplettierung des lokalen Ringes V Es genügt zu zeigen аТ^ЬТ Wir können b T ф Г voraussetzen

p =тгпЯ ist em Primideal von R, das b enthalt Nach Satz (34) ist а im Radikal von b enthalten Daher ist auch ûÇp Die Embettungsabbildung R-^ Tist bei рфШя nicht lokal Man geht daher zur Lokahsierung R^ über Da die Elemente von Я-р Einheiten m T sind, kann man R ~> T zu einem Homomorphismus (p R^-^T fortsetzen ç ist lokal cp(p Rp)^ m^

Einem Verfahren aus [7] folgend, betrachten wir nun Elemente /i, Л aus m^^, die modulo p em Parametersystem in R/p bilden (s = dim R/p) S =kifi, ,/,» ist em regulärer Unterring von R, dessen Quotientenkorper К m R, enthalten ist (Bei s = 0 ist R, = R und К = /c) J R->D bezeichne die universell-endliche /c-Denvation von R und d^ R^ -^ D^ ihre universelle dehnung durch Nenneraufnahme Es sei D =DjR^d^K Mit d sei die position von d^ mit der Restklassenabbildung D^-^D bezeichnet In [7] wird gezeigt, daß die X-Derivation d Rp -^ D universelle Eigenschaften besitzt