Die Automorphismengruppe des Korpers aller algebraischen Funktionen 227

Ist e em Element aus £, so gibt es einen und nur einen Automorphismus Я = Я(е) von C(0, der jedes Element aus С fixiert und t auf t e abbildet, da ja t transzendent über С ist

Nach Voraussetzung gibt es eine endliche Elementenmenge 5 derart, daß X = C(r, iS) ist Ist s ein Element aus S, so ist 5 mit E algebraisch über C(f) Also gibt es fur jedes se S ein Polynom /,(X) mit Koeffizienten in C(t) und /,(5) = 0 Ist G em Isomorphismus aus d{t, £, X\ so gibt es ein Element e m E mit f^et Es folgt, daß о in C(t) den Automorphismus X{é) induziert Also wird

Da es nur endlich viele /^ mit 5 in 5 und nur endlich viele X{e) mit emE gibt, so gibt es nur endlich viele //^^^ Da em Polynom aber nur endlich viele stellen m E haben kann, gibt es nur endlich viele Abbildungen s-^s"" von S Da schheßlich ein Isomorphismus о aus Ö(r, £, X) vollständig durch die endlich vielen möglichen Bilder von t und 5 bestimmt ist, ist auch Q(t,E,X) endlich

Ist e em Element aus £, so sind t und e t beide Transzendenzbasen von F über C, und Anwendung von Lemma 1 5 ergibt die Existenz eines morphismus ß in Autc F, der t auf e r abbildet Dieser Automorphismus ß induziert aber einen Isomorphismus von X in F, der ebenfalls t auf ^ t abbildet, und der zu в{1, £, X) gehört, womit wir auch (3) verifiziert haben

Lemma 4.2. Ist C, E ein Ф-Рааг, so sind die folgenden Eigenschaften des Tripels (t, E X) aus в{С,Е) äquivalent

( 1 ) Jeder Isomorphismus aus 0(r, E, X) ist ein Automorphismus von X (11) 6(t, £, X) ist eine endliche Untergruppe von Aut^X (111) /5^ f{x) ein irreduzibles Polynom über C{t) mit Nullstellen in X, ist X

ein Automorphismus aus Aut^ C{t) mit t'^~^ in E, so zerfallt das Polynom f^{x)

über X in Linearfaktot en

( iv ) Es gibt eine endliche Menge A über C{t) irreduzibler Polynome mit folgenden Eigenschaften

( a ) A = A^ fur jedes X aus Aut^ C(t) mit t^~^ in E

( b ) Polynome aus A zerfallen uberX in Linearfaktoren

( c ) X entsteht aus C{t) durch Adjunktion der Nullstellen der Polynome aus A

Die Tripel (^, £, X)gö(C, F) mit den äquivalenten Eigenschaften (i)-(iv) wollen wir [aus naheliegenden Gründen] normal nennen, und die Menge der normalen Tripel aus в(С,Е) werde mit 9„(С,Е) bezeichnet

Beweis Daß (11) aus (1) folgt, ergibt sich unmittelbar aus Lemma 41 — Wir nehmen als nächstes die Gültigkeit von (11) an und betrachten ein duzibles Polynom/(x) über C(0, das wenigstens eine Nullstelle amX besitzt Weiter sei Я ein Automorphismus aus Aut^ C{t) mit t^~^ in E Dann ist auch / (x) ein irreduzibles Polynom über C{tX das in dem über C(t) algebraischen,