Picard - Problem fur u^y=f{x, y, u, u^ Uy) 307

( b ) 1st g{x) absolutstetig auf I^, XœI^ und g{X) eine Nullmenge, so ist g'(x) = 0/'/a xeX

( c ) Ist g{y) absolutstetig aufly und V{g) die Totalvariation von g auf /^, dann

isti\g' { y ) \dy=V { g )

Beweis McShane [3, See 38, 42]

Hilfssatz 5. (a) Es sei u{x, y)e СД/), (x[y) absolutstetig und monoton wachsend auf I^ mit oc{Iy)c:I^ Dann ist u{(x{y\y) oc'{y)eL{I^)

( b ) Es sei g(x, у)еЦ1) und (x{y) wie in (a) Dann ist fur festes xel^

^1 f ig{^.fl)d^ri}=-a{y)ig{a{y),it)df^+ i g{Ly)dè (3)

^y U(y) 0 J 0 a(>)

fur fast alle yel^, und es existiert eine Nullmenge Neil, so daß (3) fur alle

ix , y ) фN gilt

Beweis (a) Es sei [T^iy)) eine Folge von Treppenfunktionen, die auf /^ gleichmäßig gegen y konvergiert Nach Hilfssatz 4(a) ist w(a(y), Т^{у)) ос'{у) fur jedes m meßbar Da

u { a { yl y) ot {y)= hm w(a(y), TJy)) (x'{y) f u auf /^

m - > 00

gilt , ist dieser Grenzwert meßbar Außerdem gilt \u{a{yl y) a {y)\ ^ U{(x{y)) oc (y), wobei U{x) = max |u(x, y)| gL(/J ist Aus Hilfssatz 4 folgt somit die Behauptung

( b ) Es sei (g„(x, y))c: C(/) eine Folge mit der Eigenschaft

ö „ = iUSnie^n)-gil^)\did,1^0 fur И-.СС-

Wir fixieren ein beliebiges x^el^, kurzen die rechte Seite von (3) mit Xq durch R {y) ab und setzen

gjy ) = I hni^,l}àU4, g(>)= j hi^'4)d^dn

3 ( ( v ) 0 a(>) 0

Die Funktionen g„{y) und g{y) sind absolutstetig, so daß mit Hilfssatz 4(c) nach einer einfachen Rechnung

i\gniy ) - S\y ) \dy=V { g „ - g ) u2ö ,

0

folgt Andererseits ist (3) mit g„ anstelle von g fur alle y, m denen a (v) existiert, richtig Hiermit erhalten wir durch elementare Abschatzungen

hg'niy ) - R ( y ) \dyu2ö , , also insgesamt

^\g { y ) - Riy ) \dyu^K - ^0 fur n->oo,

0

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