Math . 2.114,313-320(1970)

Reguläre Normalteiler in der Gruppe der Projektivitäten bei projektiven und affinen Ebenen

Adolf Schleiermacher

Das Ziel dieser Note ist es, einen Satz von Lüneburg [2] und Yaqub [3] über die Projektivitätengruppe einer endlichen projektiven Ebene auf den Fall unendlicher Ordnung auszudehnen. Der Satz von Lüneburg und Yaqub lautet:

Sei ^ eine endhche projektive Ebene der Ordnung n. Sei G die Gruppe aller Projektivitäten einer Geraden g auf sich, Gp der Stabilisator eines Punktes P I g. Genau dann besitzt Gp einen Normalteiler der Ordnung n, wenn Ф pappossch ist. (Ist N ein solcher Normalteiler, so wird N durch die Elationen mit Zentrum P induziert.)

Da Gp auf g\P zweifach transitiv und somit primitiv operiert, muß ein Normalteiler der Ordnung n auf g\P notwendigerweise regulär sein. Der folgende Satz ist daher eine Verallgemeinerung des Satzes von Lüneburg und Yaqub:

Satz 1. Sei ф eine projektive Ebene, G die Gruppe aller Projektivitäten einer Geraden g auf sich und Gp der Stabilisator eines Punktes P I g. Genau dann existiert eine auf g\F regulär operierende Gruppe N, die von Gp normalisiert wird, wenn ^ Moufangebene ist. (Ist N eine derartige Gruppe, so besteht N aus allen Abbildungen, die durch Elationen mit Zentrum P induziert werden; insbesondere folgt N^Gp.)

Um diesen Satz beweisen zu können, benötigen wir einen analogen Satz über affine Projektivitäten, d.h. über Produkte von Parallelprojektionen in einer affinen Ebene (vgl. Dembowski [1], S. 160 für die Definition). Wir trachten eine affine Ebene 21 mit der idealen Geraden œ und einer gewöhnlichen Geraden g, und bezeichnen mit G^ die Gruppe aller affinen Projektivitäten von g auf sich. In der zugehörigen projektiven Ebene läßt sich G^ als die Untergruppe der Projektivitätengruppe von g auffassen, die entsteht, wenn man nur Projektionszentren auf œ zuläßt.

Satz 2. Sei 91 eine affine Ebene, G^ die Gruppe aller affinen Projektivitäten einer Geraden g auf sich. Genau dann existiert eine auf g regulär operierende Gruppe N, die von G„ normalisiert wird, wenn 21 Translationsebene ist. (Ist N eine derartige Gruppe, so wird N durch die Translationen von 91 induziert, die g festlassen; insbesondere folgt N^G^.)