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A Schleiermacher

Fixelementen g und P, der natürlich einen Normalteiler von Gp induziert Daß dieser Normalteiler auf g\P regular operiert, ist klar, man vergleiche die duale Behauptung Die auf einer Schar paralleler Geraden von der Transla- tionsgruppe einer Translationsebene induzierte Permutationsgruppe ist regular Um die nächsten Lemmata formulieren zu können, benotigen wir noch eine Definition

Definition . Sei Ш eine affine Ebene, g eine Gerade und G^ die Gruppe aller affinen Projektivitaten von g auf sich Wir sagen, 91 habe die Eigenschaft (EJ, wenn es auf g zwei Punkte АфВ gibt, so daß der Stabilisator G^ab von А und В in G^ noch einen weiteren Fixpunkt С besitzt Es ist leicht zu sehen daß die Wahl der Geraden g und der Punkte A und В in dieser Definition keine Rolle spielen

Lemma 4. Genau dann hat die affine Ebene 21 die Eigenschaft (EJ, wenn es in 91 ein Abstandsvefhaltms gibt

Beweis Wir nehmen zunächst an, 2t habe die Eigenschaft (E^), und betrachten zwei behebige Punkte А und В der Ebene 91 Sei G^ die Gruppe aller affinen Projektivitaten der Geraden g = AB auf sich Der Stabihsator ^caAB der beiden Punkte А und В hat dann nach Voraussetzung noch einen weiteren Fixpunkt С + A, В Wir definieren nun eine Relation p durch folgende Festsetzungen p(P, Q, R) gelte genau dann, wenn es eine affine Projektivitat (7 mit Acr=P, B(j = Q und С er = R gibt, oder wenn P = Q = R ist Die Relation p ist damit fur Tripel kolhnearer Punkte von 91 definiert und hat die schaften (AI), (A2) und (A3), wie man sofort sieht Außerdem hat p die Eigenschaft (A6) Gabe es namhch zu zwei Punkten P und Q verschiedene Punkte R und Ri mit p(P,Q,R) und /o(P,Q,Ri), so waren P,Q,R sowie P, Q, Ri nach Definition von p untereinander verschieden, und es gäbe affine Projektivitaten cj und a^ mit Aö-=P, B<j = Q, Ccr = R und A(Ji = P, Вcr^ = Q, CcJi = Ri Die affine Projektivitat аа^ ^ aus G^^^ hatte dann С nicht als Fixpunkt

Da nach Lemma 1 die Eigenschaften (A4), (A5) und (A6) gleichwertig sind, ist p em Abstandsverhaltms

Wenn es in 91 ein Abstandsverhaltms gibt, so betrachten wir zu zwei verschiedenen Punkten А und В den eindeutig bestimmten dritten Punkt С mit p(A, B, C) Wegen der Invarianz der Relation p gegenüber affinen jektivitaten folgt nun sofort, daß С bei allen affinen Projektivitaten festbleibt die А und В festlassen, und 91 hat die Eigenschaft (E^)

Lemma 5 (Lüneburg [2]) Die affine Ebene 91 laßt genau dann ein verhaltms zu, wenn 91 Translationsebene ist und mchttriviale Homologien besitzt Ist p ein Abstandsverhaltms, so ist die durch p(X, В,Х(Тв) definierte Abbildung (jß eine Homologie mit Zentrum В

Bemerkung Nach Lemma 5 und 4 ist jede affine Ebene mit der Eigenschaft (EJ eine Translationsebene (vgl Dembowski [1], S 161, Beh 10b)